II SULLE EQUAZIONI ALLE DERIVATE FUNZIONALI

«Rend. Acc. Lincei», ser. 5a, vol. XXIII1, 19141;
pp. 393-399.

1. Nella classificazione dei problemi che dipendono dai concetti di funzioni di linee, dopo quelli di tipo algebrico (equazioni integrali ed equazioni funzionali) vengono le equazioni integro-differenziali e le equazioni alle derivate funzionali. Fra queste ultime, di speciale interesse sono quelle che appartengono al tipo delle equazioni ai differenziali totali, che vennero in modo particolare studiate; ma conviene segnalarne altre di diverso tipo che pure è utile di esaminare. È ciò che mi permetto fare in questa brevissima Nota, limitandomi a darne degli esempi.

2. Denotiamo con una quantità che dipende da tutti i valori di f(x) nell'intervallo 0 , 1, che sia derivabile e non abbia punti eccezionali ³⁸ . Vogliamo che essa soddisfi alla condizione

(1)

ove denota la derivata di eseguita nel punto ξ. Troviamo facilmente che la funzione

ove con Φ si denota una quantità che dipende in modo arbitrario da , ed è continua derivabile e senza punti eccezionali, soddisfa alla (1). Reciprocamente se F soddisfa la (1) essa può mettersi sotto la forma precedente, perché non deve cambiare moltiplicando f(x) per una costante qualunque.

La (1) rappresenta una delle equazioni del nuovo tipo.

3. Consideriamo

ove F dipende dal parametro α e dai valori di f(x) in tutto l'intervallo 0 , 1 e non ha punti eccezionali. Esaminiamo la equazione

(2)

nella quale φ (ξ , η) rappresenta una funzione nota delle due variabili ξ e η, e

indica la derivata funzionale di F rispetto a f, eseguita nel punto ξ.

La (2) rappresenta pure una delle equazioni del nuovo tipo.

La sua risoluzione può farsi dipendere dalla risoluzione della equazione integro-differenziale ³⁹

(3)

Posto

ove gli asterischi denotano operazioni di composizione di 2a specie, la soluzione della (3) è data da

essendo Ψ(ξ) una funzione arbitraria.

Ciò premesso, risolviamo l'equazione integrale

nella quale α figura come un parametro costante, e sia

la soluzione.

Il nucleo λ(ξ , η | α) si otterrà facilmente e sarà

giacché si verifica immediatamente che

Denoti ora il simbolo di una quantità che dipende arbitrariamente da tutti i valori di θ(x) per x compreso fra 0 e 1, e sia continua derivabile e senza punti eccezionali. Se θ(x) dipenderà anche da un parametro α , Φ resulterà una funzione ordinaria del parametro stesso. In particolare si sostituisca, per θ(x) , Ψ(x , α); resulterà allora Φ una quantità che dipenderà da tutti i valori di f(x) per x compreso fra 0 e 1, e sarà una funzione ordinaria del parametro α, cioè avremo ⁴⁰

(I)

Proviamo adesso che la (I) soddisfa l'equazione (2). La verifica è molto semplice. Deriviamo Φ|[θ(x)]| per rapporto a θ(x) nel punto ξ: otterremo una quantità che oltre dipendere da θ(x) è una funzione di ξ. Scriviamola per semplicità Φ'(ξ). Calcoliamo ora δF. Resulterà

quindi

Onde il primo membro della (2) si scriverà, sostituendovi le espressioni precedenti,

(4)

Ma dalla espressione trovata superiormente per λ(ξ , η | α) si ricava

dunque la (4) sarà nulla qualunque siano Φ'(ξ) e f(η), e per conseguenza la (2) è verificata comunque si prendano Φ ed f.

4. I procedimenti indicati, come in tutti i casi analoghi, possono facilmente farsi discendere dal noto concetto di passaggio dal finito all'infinito, che informa tutti i procedimenti dell'analisi a cui appartengono le questioni trattate. È interessante osservare come negli integrali compariscono delle funzioni arbitrarie di linee.

5. Di uno speciale interesse sono la equazione

(5)

in cui F" è la derivata seconda di eseguita nei punti ξ e η, e l'altra analoga

(5')

ove

.

Esse possono considerarsi come equazioni tipiche corrispondenti alle equazioni lineari alle derivate parziali del 2° ordine a coefficienti costanti, e possono rispettivamente chiamarsi equazioni lineari alle derivate funzionali del 2° ordine di 1 a e di 2 a specie.

6. Supponiamo, nella (5),

,

ove le funzioni φ1, φ2, . . . , φn sono normalizzate.

Prendiamo la forma reciproca

,

tale, cioè, che

Poniamo

e cerchiamo le funzioni

che soddisfano la (5).

Avremo

e quindi

Se dunque la (5) deve essere soddisfatta, sarà

(II)

A e B essendo due costanti arbitrarie.

7. Passiamo adesso alla (5'). Potremo sempre supporre H (x , y) simmetrica. Calcoliamo L (x , y) tale da soddisfare il principio di reciprocità ⁴¹ , cioè

(6)

ammesso diverso da zero il determinante.

Si riconosce facilmente che L (x , y) sarà simmetrico, e che H ed L saranno permutabili di 2a specie.

Poniamo

e cerchiamo le funzioni

che soddisfano la (5'). Avremo

(7)
(7')

Per conseguenza,

(8)

ove

in cui si è fatto uso, come precedentemente nel § 3, della notazione che rappresenta la composizione di 2a specie ⁴² .

Ma in virtù della (6), che si può scrivere

abbiamo

quindi

Si ha poi,

onde la (8) si scriverà

ove

Affinché la (5') sia soddisfatta, basterà dunque prendere

(III)

A e B essendo due costanti arbitrarie.

Si è così riusciti ad ottenere gli integrali (II) e (III) delle equazioni del 2° ordine lineari alle derivate funzionali di 1a e di 2a specie considerate, analoghi a quelli sui quali si applica l'analisi di Green.

8. Dalla (7) segue

il punto ξ è quindi eccezionale ⁴³ e θ'(r) è il coefficiente differenziale di δf(x).

Facendo uso di una notazione adottata fino dai miei primi lavori sopra questo soggetto ⁴⁴ potremo scrivere

Avremo dunque

ove si è posto

Preso dunque

(IV)

con A e B costanti, essa verificherà l'equazione