Quaestio quarta

Quomodo se habent primae qualitates in activitate et resistentia.

Prima dubitatio sit, quid sit ⁷²⁶ resistentia. Vallesius ⁷²⁷ , p.° Controversiarum cap. 5, et alii, dixerunt, resistentiam esse actionem, et resistere esse quoddam agere. Probatur, primo: augumentatio fit a simili; sed resistentia augetur augumento actionis; ergo [etc.]. 2°: ex continuatione actionis in contrarium fit maior resistentia in agente, et magis debilitatur contrarium; [etc.]. ergo 3°: potentia resistiva est activa; ergo resistere est agere. Probatur antecedens: potentia resistiva non est passiva, quia potentia passiva disponit subiectum ad patiendum, at potentia resistiva potius impedit passionem; ergo est activa.

Dico, primo: resistentia non est formaliter actio: tum quia lapis resistit manui prementi, et tamen nihil agit; tum quia exiguus calor resistit maximae frigiditati, alioquin fieret alteratio in instanti, et tamen non reagit in illum; tum quia medium resistit in motu locali, et tamen per se non reagit; tum, demum, quia haec inferiora resistunt actioni caeli, et tamen non reagunt in illud.

Dico, 2°, resistentiam non esse passionem. Nam, cum ferrum premitur, non patitur, quamvis resistat: item caelum prementi resisteret, et tamen non pateretur. Adde, quod resistere convenit rei ut est in actu; pati vero, ut est in potentia.

Dico, 3°, resistentiam esse permanentiam in proprio statu contra actionem contrariam. Dixi «contra actionem contrariam»: nam resistentia, quamvis non sit actio, connotat tamen actionem contrarii, quam impedit. Dixi «esse permanentiam in proprio statu»: quia non distinguo resistentiam ab ipsa existentia rei, ut permanet; immo resistentia formaliter dicit hanc permanentiam rei in suo statu, et connotat impedimentum actionis contrariae. Et hoc est contra Pomponatium, sectione 2a De reactione cap. 3, qui vult, resistentiam formaliter dicere impedimentum contrariae actionis, connotans actionem contrarii et permanentiam in proprio statu; sed fallitur: quia resistentia est aliquid positivum, at vero illud impedimentum est negatio actionis. Ex quo sequitur, primo, resistentiam differre a permanentia rei in suo statu vel a conservatione sui secundum se considerata, quae dicit solum permanentiam existentiae receptae ab agente; quod resistentia connotat impedimentum contrariae actionis, permanentia vero abstrahit ab illo. Sequitur, 2°, resistentiam formaliter pertinere ad praedicamentum rei resistentis, sicut et ipsa existentia; nam modi intrinseci ad idem praedicamentum pertinent, ad quod res: at vero, resistentiam eandem, ratione connotati, pertinere ad praedicamentum actionis; quia illud impedimentum connotatum est quaedam privatio vel negatio actionis, privationes vero reducuntur ⁷²⁸ ad praedicamentum sui habitus. Sequitur, 3°, in resistentia qualibet tria posse reperiri. Primum est id quod formaliter connotat; et est permanentia in proprio statu: secundum, id quod connotative; et est actio contrarii impedita: tertium est causa illius permanentiae, idest causa illa quae efficit ut res facile perseveret in suo statu et resistat actioni contrariae. Quae causa potest esse multiplex; ut, verbigratia, actio resistentis, ut cum animal suis viribus se tuetur per propriam actionem; item, pondus vel durities, ut in lapide; item, innexio ⁷²⁹ materiae qua retardatur actio contrarii, etc. Porro, in resistentia qualitatum illa duo priora sunt manifesta, tertium vero est paulo occultius: non enim apparet, quaenam sit proprietas humoris qua tantopere resistit ⁷³⁰ ne exiccetur. Sed tamen, cum in animalibus et in multis aliis rebus, ut lapide etc., ea causa semper cernatur, tamen dicendum est, etiam qualitates et quaslibet alias res habere quamdam proprietatem naturalem qua, plus vel minus, resistant contrario: quae dicitur causa resistentiae, et potest reduci ad potentiam vel impotentiam. Ex quo apparet error Nobilii qui, p.° De generatione dubio 11 in cap. 7, distinxit ⁷³¹ duplicem resistentiam: aliam animalium, quae consistere in nixu ⁷³² quodam, qui est quaedam actio; aliam in caeteris rebus, quam reduxit ad impotentiam ad patiendum; ubi, ut videtis, accepit causam extrinsecam resistentiae pro resistentia formaliter, cum tamen distinguantur ⁷³³ . Adde, quod naturalis potentia vel impotentia semper est in re; et tamen res semper non resistit, sed solum praesente actione contrarii.

Ad primum argumentum respondeo, ex augumento actionis augeri resistentiam, sed non per se et formaliter, sed per modum sequelae ⁷³⁴ vel causaliter; quia nimirum augetur causa resistentiae: dum enim, verbigratia, augetur calefactio, quae est causa resistentiae, fit calor perfectior, qui est sui conservativus. Ad secundum respondeo, per continuationem actionis in contrarium proprie diminui tantum potentiam agentis contrarii; postea inde sequi permanentiam rei in esse, quae est formaliter resistentia. Ad tertium respondeo, proprie et formaliter resistentiam non esse actionem vel passionem, sed reduci ad praedicamentum rei resistentis, ut dixi: quod si quando intercedit aliqua actio vel passio, illa erit solum causa resistentiae, ut dixi.

Secunda dubitatio: quomodo se habeant primae qualitates in activitate et resistentia. De hac re lege Calculatorem in tractatu De reactione, Hentisberum in sophismate ⁷³⁵ An aliquid fiat, Marlianum ⁷³⁶ in suo introductorio ⁷³⁷ De reactione, Buccaferri 2° De generatione q. e De reactione, Thienensem ⁷³⁸ tract. De reactione, Pomponatium sect.e p.a De reactione a cap. 13, et 4 Met. dub. 4 et 9.

Nota, primo: cum comparatio proprie fiat inter res eiusdem speciei et non inter res diversi generis, hinc etiam fit ut proprie non possimus conferre has qualitates inter se in activitate et resistentia, nisi conferendo activitatem unius cum activitate alterius, et similiter resistentiam unius cum alterius: haec enim solum esset proprie comparatio. Improprie tamen possumus et conferre activitatem cum resistentia, licet sint diversi generis; et hoc dupliciter: primo, simpliciter; 2°, non simpliciter, sed in genere suo, videndo quaenam illarum magis accedat ad summum et perfectissimum suo genere. Verbigratia, caelum potest comparari cum musca, licet sint diversi generis, dupliciter: primo, simpliciter, quaerendo utrum illorum sit perfectius; et sic certum est, muscam, cum sit animal, esse ⁷³⁹ perfectiorem, simpliciter, caelo inanimato: 2°, non simpliciter; et sic caelum est perfectius musca, quia, in genere corporis simplicis, caelum maxime accedit ad summe perfectum, cum sit corpus simplex perfectissimum; contra vero musca, in genere animalis, maxime recedit a summe perfecto animali. Utroque igitur modo possumus etiam conferre, improprie, resistentiam ⁷⁴⁰ cum activitate qualitatis: quorum duorum modorum uterque adhuc subdividitur in duos alios modos. Ex quo colligitur, has quatuor qualitates, in activitate et resistentia, posse in universum quinque modis conferri: primo, si quaeramus quaenam illarum sit magis activa, et quae illarum magis resistiva: 2°, si simpliciter quaeramus ⁷⁴¹ , utrum activitas unius sit maior resistentia alterius simpliciter: 3°, etiam simpliciter, utrum activitas unius sit maior ⁷⁴² resistentia eiusdem: 4°, non simpliciter, sed in genere, idest utrum activitas unius, in suo genere, maior sit resistentia eiusdem, in suo genere, modo explicato: 5° demum, non simpliciter, sed in genere, utrum activitas unius magis accedat ad summum, in genere activitatis, quam resistentia alterius contrarii ad summum, in genere resistentiae. Ex quibus comparationibus prima tantum est propria, quatuor vero sunt impropriae.

Nota, 2°, intensionem et remissionem, in qualitate, in activitate, et in resistentia, diverso modo sumi. Nam maxima intensio qualitatis est habere 8 gradus; et quo magis recedit ab 8, eo est minus intensa: at maxima actio est quae fit in instanti; reliquarum vero, ex 6 Phys. 16 et 23, ea est maior quae breviori tempore plus formae introducit: contra vero maxima resistentia est quae toto tempore nihil patitur; reliquarum vero illa est maior quae in diuturniori tempore nihil patitur. Itaque magna actio requirit breve tempus et multum formae; haec enim magis accedit ad summam actionem: magna vero resistentia requirit longum tempus et parum formae contrariae; haec enim magis accedit ad summam resistentiam. Ex hoc autem sequitur, maximam resistentiam posse interdum superari a minima actione. Ut, verbigratia, si lignum decem annis resistat aquae, ne humefiat, et tandem mollescat: hic, ut videtis, est maxima resistentia, quia longo tempore lignum parum patitur; et minima actio, quia longo tempore aqua parum agit: et tamen haec actio minima superat eam maximam resistentiam. Neque hoc mirum est: nam minima actio non dicitur minima, quia simpliciter sit minor resistentia; immo est maior, cum dictam resistentiam superet: sed dicitur minima in suo genere, quia minus accedit ad summam actionem. Imo, si esset maxima actio in suo genere, non permitteret maximam resistentiam, sed minimam; quia brevissimo tempore illam superaret. Ex quo solvitur haec obiectio: Si parva actio superat magnam resistentiam, et magna actio parvam resistentiam, ergo plus fit per parvam actionem quam per magnam. Solvitur, inquam; quia non valet consequentia. Nam superare magnam resistentiam non est multum agere, sed parum; est enim adeo debile agere, ut passum possit diu reluctari: contra vero superare parvam resistentiam est multum agere; est enim adeo fortiter agere, ut passum diu resistere non possit. Quare semper plus fit per magnam actionem, quam per parvam.

Nota, 3°: si comparatio fiat primo modo ex positis in primo notando, tunc dico, primo, qualitates in activitate servare hunc ordinem: ut, caeteris paribus, activissimus omnium sit calor, tum frigus, post humiditas, demum siccitas. Dixi «caeteris paribus:» hoc est si ponantur illae ⁷⁴³ qualitates aequaliter intensae et cum aliis circumstantiis aequalibus, breviori tempore plus formae introducet calor, tum frigus, etc. Probatur conclusio: tum experientia, quia videmus ignem citius agere qualibet re frigida, immo in quibuslibet materiis paulo magis dispositis videtur ignis agere in instante, ut in stuppa, etc.; cum tamen nulla res, licet frigidissima, tanta velocitate agat in materiam quantumlibet dispositam: tum quia videmus, diu et sine ulla lesione detineri manum in nive, cum tamen ne brevissimo temporis spatio detineatur in igne: tum demum, quia ignis maxime penetrat, maximo impetu frangit, etc., quae ⁷⁴⁴ non videmus in corpore frigido. Quod autem duae priores sint activiores posterioribus, probatur: tum quia illae ab Aristotele vocantur simpliciter activae, aliae passivae; tum quia experientia constat, calorem et frigus breviori tempore plus agere quam humorem et siccitatem. Postremo, quod humiditas sit activior siccitate, patet sensu: aër enim humidus res in eo existentes facilius humectat ⁷⁴⁵ , quam terra exiccet; et aliquid facilius in aqua humefiet, quam in terra exiccetur. Adde, quod humidum sua actione rarefacit et dissolvit, siccum vero constipat; dissolutio autem disponit subiectum ad transmutationem, et constipatio impedit. Et adverte, me loqui de humefactione et exiccatione quae fiunt ab humore et siccitate: nam potest fieri ut exiccatio citius fiat quam humefactio, si exiccatio fiat ab igne, quia tunc ignis, rarefaciendo, extrahit partes humidas; ut patet in pannis humidis igni appositis. Et haec est causa quare medici dicunt, difficilius esse corpora humefacere quam exiccare; quia accipiunt humefactionem et exiccationem quae fiunt a calore, per ingressum et recessum substantiae humidae. Certum est enim, substantiam humidam facilius egredi quam ingredi.

Dico, 2°, qualitates in resistentia servare eundem ordinem: ut magis resistiva sit caliditas frigiditate, et haec humiditate ⁷⁴⁶ ; postremo sit siccitas. Probatur: si calor introducit totam suam latitudinem in 1/4 horae, frigus, quod est minus activum non producet nisi una hora: at vero, cum tantum unius qualitatis deperdatur quantum contrariae ⁷⁴⁷ producitur, sequitur, totum frigus deperdi uno quadrante horae, calorem vero una hora; et, ex consequenti, frigus non resistet calori nisi 1/4 hora, calor vero resistet frigori una hora: unde concluditur, ita frigus superari a calore, in resistentia, sicut in activitate. Et idem argumentum potest fieri de aliis duabus. Obiicies: res calefactae ⁷⁴⁸ facilius frigefiunt, quam frigefactae calefiant; ergo [etc.]. Respondeo, res calefactas facilius frigefieri per accidens, ob evaporationem spirituum calidorum, qui, ob tenuitatem, facilius evanescunt. Contra hanc conclusionem faciunt illi qui admittunt quidem primam conclusionem; sed dicunt resistentiam siccitatis esse maximam, postea vero humiditatis, tum frigoris, demum caloris; sed tamen volunt cuiusque actionem maiorem propria resistentia. Sed contra: ex hoc sequeretur, latitudinem summae resistentiae esse minorem latitudine summae activitatis, quod est absurdum. Probatur sequela: nam latitudo maximae activitatis in calore est, verbigratia, ut 8; ergo in siccitate, quae, etiam secundum ipsos, est minime omnium activa, erit, verbigratia, ut 4: sed summa resistentia per se est in siccitate, et, simul, maior est activitas eiusdem siccitatis quam propria resistentia; ergo latitudo summae resistentiae est infra 4 gradus.

Nota, 4°: si fiat comparatio secundo modo, tunc dico simpliciter, actionem cuiusque qualitatis maiorem esse resistentia contrarii: quia, quaecunque qualitas agat in aliam, semper tamen illam superat, licet interdum longissimo tempore. Et de activitate caloris et humiditatis supra resistentiam frigoris et siccitatis, id notissimum est; cum illae ⁷⁴⁹ sint activiores his, et, consequenter, ex notando tertio, hae minus resistitivae. De actione vero frigoris et siccitatis contra resistentiam caloris et humoris, id videtur difficilius; quia humiditas et siccitas, ex dictis, sunt minus activae illis. Tamen adhuc conclusio est vera: idest quoad actionem ⁷⁵⁰ illarum simpliciter; modo sint in proportione maioris inaequalitatis, idest ut, verbigratia, 5 vel 6 gradus frigoris vel siccitatis agant in 3 vel 4 gradus caloris vel humiditatis, ad hoc ut possit fieri actio: nam semper est maior resistentia harum. Licet enim diutissime istae resistant, tamen aliquando superantur. Et sic, simpliciter, actio illarum dicitur maior harum resistentia.

Obiicies: supra, in notabili tertio, dixisti, caloris actionem et resistentiam esse maiorem frigoris; similiter, humiditatis actionem et resistentiam maiorem esse actione et resistentia siccitatis: ergo est contradictio, si hic dicimus, actionem cuiuscunque superare resistentiam contrarii. Respondeo, nullam esse contradictionem. Nam hic loquimur simpliciter, et dicimus actionem simpliciter cuiuscunque superare resistentiam contrarii, modo fiat actio in debita proportione: sed cum hoc stat, ut activitas et resistentia caloris in suo genere, de quibus loquebamur in notabili tertio, sit maior; quia magis accedit ad summum, cum breviori tempore calor et humiditas introducant suam latitudinem, quam frigiditas et siccitas suam. At in casu nostro praesenti non dicimus, actionem esse maiorem in genere, sed simpliciter; quia, tandem, contrariam resistentiam superat. Quod tantum abest ut repugnet dictis notabili tertio, ut etiam maxime faveat: quia dicere, actionem frigidi et sicci longissimo tempore tandem superare resistentiam caloris et humoris, est dicere, minimam esse actionem frigoris et siccitatis in suo genere, idest in accessu ad summum, et maximam in suo genere esse resistentiam caloris et humoris. Nam maxima resistentia, in suo genere, non potest vinci nisi a minima actione in suo genere. Et explicatur exemplo alicuius exercitus, qui longissimo tempore alteri resisteret, sed tandem vinceretur: tunc enim diceremus, activitatem vincentis esse parvam, et resistentiam victi magnam; simul etiam diceremus, simpliciter, cum ille vincatur, habuisse minorem resistentiam quam sit victoris activitas. Idem posset declarari exemplo marmoris et guttarum cadentium et illud excavantium.

Nota, 5°: si fiat comparatio tertio modo, dico eam esse impossibilem. Nam, si resistentia unius qualitatis cum propria actione conferatur, altero ex his duobus modis conferri debet: primo, videndo....................................

THEOREMATA

CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM

AVVERTIMENTO

______________________

«Queste sono alcune Proposizioni attenenti al centro di gravità de i solidi, le quali in sua gioventù andò ritrovando il nostro Accademico, parendogli che quello che in tal materia haveva scritto Federigo Comandino non mancasse di qualche imperfezzione. Credette dunque con queste Proposizioni, che qui vedete scritte, poter supplire a quello che si desiderava nel libro del Comandino; et applicossi a questa contemplazione ad instanza dell'Illustrissimo Sig. marchese Guid'Ubaldo dal Monte grandissimo matematico de' suoi tempi, come le diverse sue opere publicate ne mostrano; & a quel Sig. ne dette copia, con pensiero di andar seguitando cotal materia anco ne gli altri solidi non tocchi dal Comandino. Ma incontratosi dopo alcun tempo nel libro del Sig. Luca Valerio, massimo geometra, e veduto come egli risolve tutta questa materia senza niente lasciar in dietro, non seguitò più avanti, ben che le aggressioni sue siano per strade molto diverse da quelle del Sig. Valerio.»

Ai teoremi che seguono, nessuna introduzione migliore di queste parole che Galileo mette in bocca al Salviati in sulla fine del Dialogo Quarto delle «Nuove Scienze» ⁷⁵¹ , e che precedono la «Appendix, in qua continentur Theoremata, eorumque demonstrationes, quae ab eodem Autore circa centrum gravitatis solidorum olim conscripta fuerunt». Nè altro avremmo voluto aggiungere dal canto nostro, se per più rispetti non ci fosse sembrato opportuno di suffragare con prove l'asserto di Galileo, e di determinare un po' meglio il posto che a questi teoremi deve essere assegnato tra le Opere di lui, giustificando in pari tempo il luogo che, seguendo l'ordine cronologico, ad essi qui diamo.

Afferma per verità il Viviani che s'applicò Galileo «alla contemplazione del centro di gravità de' solidi, per supplire a quel che ne aveva già scritto il Comandino; e di ventiquattro anni di sua età inventò quello che in tal materia si vede scritto nell'Appendice impressa alla fine de' suoi Dialoghi delle due nuove scienze» ⁷⁵² ; secondo la quale asserzione, dovrebbero tali studi assegnarsi all'anno 1588. Ma questa data viene contraddetta da altre circostanze, principalissima fra tutte la dichiarazione fatta da Galileo stesso nella lettera ad Elia Diodati, del 6 dicembre 1636, nella quale scrive: «Manderò quanto prima una appendice d'alcune dimostrazioni di certe conclusioni de centro gravitatis solidorum, trovate da me essendo d'età di 21 anno e di 2 di studio di geometria» ⁷⁵³ . Notando, per incidenza, che rimane per tal modo confermato quanto narra il Viviani stesso, vale a dire che Galileo sarebbe stato introdotto nello studio della geometria quando «già aveva compiti i diciannove anni» ⁷⁵⁴ , ci pare di non poter rifiutar fede all'affermazione così esplicita del nostro Autore, e di dover quindi assegnare questi suoi studi all'anno 1585, per quanto in tal modo venga ad alterarsi quell'ordine cronologico dei lavori galileiani, il quale finora era stato universalmente accettato per vero.

Oltre che al marchese Guidobaldo Del Monte, come afferma Galileo, aveva egli ancora, ed anzi prima che ad esso, data comunicazione di questi teoremi al P. Cristoforo Clavio, al quale ne lasciò altresì una parte in occasione del primo viaggio da lui compiuto a Roma nella seconda metà dell'anno 1587. Questa circostanza, ed il carteggio da Galileo tenuto intorno a cosiffatti argomenti, oltre che con i due sunnominati, anche con Michele Coignet di Anversa nei primi mesi del successivo anno 1588, determinano con tutta la esattezza desiderabile il tempo al quale questi studi devono farsi risalire, e che rimane confermato da altro documento del quale diremo fra poco.

Di questi teoremi, alcuni dei quali ebbero adunque una certa diffusione, manca l'autografo; e dei parecchi esemplari, che n'andarono attorno manoscritti, giunse sino a noi soltanto uno, conservatoci, tra le carte di Giovanni Vincenzio Pinelli, nel cod. miscellaneo A. 71 Inf. della Biblioteca Ambrosiana, intitolato «Pinelli Collectanea». Questo esemplare contiene soltanto l'ultimo dei teoremi col lemma ad esso relativo, e in capo ad essi l'attribuzione «di Vinc.° Galilei»; nell'indice, però, premesso al codice, e in cui la erronea attribuzione era ripetuta, già una mano del tempo corresse «Galilei de Galileis» in luogo di «Vincentii de Galileis». - Dopo il teorema sono trascritte le seguenti attestazioni:

«Fassi fede per me Giovanni Bardi de' Conti di Vernio, come le presenti conclusioni e dimostrationi sono state ritrovate da M. Galileo Galilei; e in fede ò fatto la presente questo dì dodici di Decembre 1587, manu propria.

Io Gio. Batta Strozzi affermo il medesimo; e in fede mi sono sottoscritto di mia mano.

Io Luigi di Piero Alamanni affermo il medesimo; et in fede ho soscritto di mia propria mano questo dì 12 Decembre 1587.

Io Gio. Batta da Ricasoli Baroni confermando il medesimo mi sottoscrivo di man propria il dì 12 detto 1587.

Adì 29 di Decembre del 1587.

Io Gioseppe Moleto, Lettor publico delle Mathematiche nello Studio di Padova, dico haver letto i presenti Lemma et Theorema, i quali mi son parsi buoni, e stimo l'autor d'essi esser buono et esercitato Geometra.

Il medesimo Gioseppe ha scritto di man propria.»

Questi documenti, e l'essere la copia Ambrosiana tra le carte del Pinelli, mancato a' vivi nel 1601, ci tolgono ogni dubbio ch'essa non rappresenti la forma primitiva di tali studi giovanili del Nostro. Pur troppo però essa contiene soltanto, come si disse, l'ultima parte dell'opera; così che per il rimanente fummo costretti ad attenerci unicamente alla edizione dei Dialoghi delle «Nuove Scienze», nei quali per la prima volta Galileo dava alla luce nel 1638 questi teoremi, sebbene, come è assai verosimile, egli dovesse allora ritoccarne alquanto il primo getto, che risaliva a cinquanta e più anni addietro. L'edizione Leidense volemmo però riprodotta fedelmente, anche in certe incostanze della grafia, salvo bensì il correggere gli errori di stampa, i quali notammo a piè di pagina. Nè tenemmo conto delle correzioni ed aggiunte con cui, di mano di Vincenzio Viviani, è postillato un esemplare di tale edizione che fa parte della Collezione Galileiana nella Biblioteca Nazionale di Firenze (Par. V, T. IX); poichè queste non possono rappresentare che ulteriori modificazioni, suggerite dall'Autore negli ultimi anni della sua vita; e profittandone noi ci saremmo anche di più allontanati da quella forma primitiva del 1585, la quale sarebbe stato nostro desiderio poter qui riprodurre. Facendo, invece, tesoro del testo Ambrosiano, ci parve opportuno presentarlo al lettore in maniera che agevolmente potesse farsi il confronto col testo posteriore, dandogli luogo, nella medesima pagina, sotto a questo, ormai dovuto seguire per tutto quanto precede.

Nei Manoscritti Galileiani della Biblioteca Nazionale di Firenze, ad una copia dell'esemplare Ambrosiano, fatta da G. B. Venturi, è allegata una lettera senza firma nè data (P. V. T. II, car. 6), che, conforme si legge, di mano di Galileo, sul tergo del foglio, contiene un «Giudizio sopra una mia Prop.ne fatto in Bologna», la quale proposizione è appunto quella del surriferito esemplare. Anche questo documento ⁷⁵⁵ stimiamo di dover qui appresso pubblicare:

«Molto Ill.re Sig.re

Il mio amico loda infinitamente lo inventore di questa speculatione, et insieme col sig.r Moleto lo judica molto versato nelle matematiche. Et solo per mostrar ch'egli l'habbia veduta, quanto al Lemma, egli dice che pare che gl'antecedenti et conseguenti nella construttione si varijno da quello che erano nella proposta. Et ben che questo lemma non sia il medesimo con la nona d'Archimede, nel 2° trattato del Tartaglia, par non di meno nato di là et sotto la forma di quella propositione constretto, et simile ad una propositione che egli già molti anni fece, nella quale, sì come Archimede toglie i due quinti della massima et l'amico di V. S. un quarto, egli toglieva un ottavo, seguendo, ne l'altre, consimili proportionalità, nel lor genere. Et dice non esser molta fatica, seguendo la forma d'Archimede, formarsene assaissime.

Quanto al Teorema, egli dubita se il centro del pezzo della piramide sia il punto o: per ciò che, stando la deffinitione del centro delle gravità [dei] corpi posta da Pappo et adoprata dal marchese Del Monte nelle Mecaniche, non segue che se per lo centro o supposto passerà un piano, quel pezzo si divida in due parti ugualmente pesanti, come dovria quando fosse veramente il centro. Et il Comandino, che la medesima materia tratta nel libro De centro gravium alla xxvi propositione, molto più s'accosta a trovar il centro, che non par che faccia questa demonstratione, quantunque da quella del Comandino non sia molto differente. Et questo è quanto egli a bocca mi riferisce; et io le bacio la mano».

Circa l'autore di questa lettera, non siamo in grado di formare alcuna ipotesi attendibile ⁷⁵⁶ . Nell'indice premesso al volume dei Manoscritti Galileiani che la contiene è scritto bensì «Lettera autografa del Marsili, nella quale si dà ragguaglio del giudizio fatto in Bologna sopra questa proposizione di Galileo»; ma tale indicazione è evidentemente erronea: infatti questa lettera non è di certo posteriore all'anno 1588; ed il solo Marsili di Bologna, col quale Galileo sia stato in relazione, fu Cesare, nato il 1° febbraio 1592.

Quanto poi all'autore del giudizio riferito in detta lettera, crediamo probabilissimo essere egli stato Pietro Antonio Cataldi, lettore di matematica nello Studio di Bologna fin dall'anno 1582 e che occupò quella cattedra senza alcuna interruzione fino al 1626.

Da tutto ciò noi siamo indotti a pensare che quello stesso documento contenente il giudizio del Moleto sia stato mandato al Cataldi, e che Galileo nel sottoporre quella sua dimostrazione ai lettori di matematica dei due principali Archiginnasi italiani d'allora, non mirasse soltanto ad avere il loro parere, ma ancora cercasse di farsi conoscere in quei celebratissimi centri di studio, con lo scopo di ottenervi una cattedra.

THEOREMATA

CIRCA CENTRUM GRAVITAS SOLIDORUM.

POSTULATUM.

Petimus, aequalium ponderum similiter in diversis libris dispositorum, si horum quidem compositorum centrum gravitatis libram secundum aliquam rationem diviserit, et illorum etiam gravitatis centrum libram secundum eandem rationem dividere.

Lemma.

Sit linea ab bifariam in c secta, cuius medietas ac divisa sit in e; ita ut quam rationem habet be ad ea, hanc habeat ae ad ec. Dico, be ipsius ea duplam esse. Quia enim ut be ad ea, ita ea ad ec, erit, componendo et permutando, ut ba ad ac, ita ae ad ec; est autem ut ae ad ec, nempe ut ba ad ac, ita be ad ea: quare be ipsius ea dupla est.

His positis demostratur: Si magnitudines quotcunque ⁷⁵⁷ sese aequaliter excedentes, et quarum excessus earum minimae sint aequales, ita in libra disponantur, ut ex distantiis aequalibus pendeant, centrum gravitatis omnium libram ita dividere, ut pars versus minores reliquae sit dupla.

In libra itaque ab ex distantiis aequalibus pendeant quotcunque numero magnitudines f, g, h, k, n, quales dictum est, quarum minima sit n; sintque puncta suspensionum a, c, d, e, b, sitque omnium magnitudinum sic dispositarum gravitatis centrum x. Ostendendum est, partem librae bx, versus minores magnitudines, reliquae xa duplam esse.

Dividatur libra bifariam in puncto d, quod vel in aliquo puncto suspensionum, vel in duarum suspensionum medio cadet necessario; reliquae vero suspensionum distantiae, quae inter a et d intercipiuntur, omnes bifariam dividantur punctis m, i; magnitudines deinde omnes in partes ipsi n aequales dividantur: erunt iam partes ipsius f tot numero, quot sunt quae ex libra pendent magnitudines; partes vero ipsius g erunt una pauciores; et sic de reliquis. Sint itaque ipsius f partes n, o, r, s, t; ipsius g vero, n, o, r, s; ipsius h quoque, n, o, r; ipsius denique k sint n, o: eruntque magnitudines omnes in quibus n, ipsi f aequales ⁷⁵⁸ ; magnitudines vero omnes in quibus o, ipsi g aequales ⁷⁵⁹ ; et magnitudines in quibus r, ipsi h; illae autem in quibus s, ipsi k; et magnitudo t ipsi n aequalis est. Quia igitur magnitudines omnes, in quibus n, inter se sunt aequales, aeque ponderabunt in signo d, quod libram ab bifariam dividit; et eandem ob causam omnes magnitudines, in quibus o, aeque ponderant in i; illae autem in quibus r, in c; et in quibus s, in m aeque ponderant; t autem in a suspenditur. Sunt igitur in libra ad, ex distantiis aequalibus d, i, c, m, a, suspensae magnitudines sese aequaliter excedentes, et quarum excessus minimae ⁷⁶⁰ aequatur: maxima autem, quae est composita ex omnibus n, pendet ex d; minima, quae est t, pendet ex a; et reliquae ordinate dispositae sunt. Estque rursus alia libra ab in qua magnitudines aliae, praedictis numero et magnitudine aequales, eodem ordine dispositae sunt: quare librae ab, ad a centris omnium magnitudinum secundum eandem rationem dividentur. Est autem centrum gravitatis dictarum magnitudinum x: quare x dividit libras ba, ad sub eadem ratione, ita ut sicut bx ad xa, ita xa ad xd; quare bx dupla est ipsius xa, ex lemmate supra posito. Quod erat probandum.

Si conoidi parabolico figura inscribatur, et altera circumscribatur ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, et axis dicti conoidis dividitur ita ut pars ad verticem partis ad basin sit dupla; centrum gravitatis inscriptae figurae basi portionis, dicto puncto divisionis, erit propinquius; centrum autem gravitatis circumscriptae a basi conoidis eodem puncto erit remotius; eritque utrorumque centrorum a tali puncto distantia aequalis lineae, quae sit pars sexta altitudinis unius cylindri ex quibus figurae constant.

Sit itaque conoidale parabolicum, et figurae quales dictae sunt: altera sit inscripta, altera circumscripta; et axis conoidis, qui sit ae, dividatur in n, ita ut an ipsius ne sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in linea ne, circumscriptae autem centrum esse in an. Secentur figurae ita dispositae plano per axem, et sit sectio parabolae bac; plani autem secantis, et basis conoidis, sectio sit bc linea; cylindrorum autem sectiones sint rectangulae figurae: ut in descriptione apparet. Primus itaque cylindrus inscriptorum cuius axis est de, ad cylindrum cuius axis est dy, eandem habet rationem quam quadratum id ad quadratum sy, hoc est quam da ad ay; cylindrus autem cuius axis est dy ad cylindrum yz est ut sy ad rz potentia, hoc est ut ya ad az; et eadem ratione cylindrus cuius axis est zy; ad eum, cuius axis est zu, est ut za ad au. Dicti itaque cylindri sunt inter se ut lineae da, ay, za, au: istae autem sunt sese aequaliter excedentes, et est excessus aequalis minimae, ita ut az dupla sit ad au; ay autem eiusdem est tripla, et da quadrupla. Sunt igitur dicti cylindri magnitudines quaedam sese ad invicem aequaliter excedentes, quarum excessus aequantur earum minimae; et est linea xm, in qua ex distantiis aequalibus suspensae sunt (unumquodque enim cylindrorum centrum gravitatis habet in medio axis): quare, per ea quae superius demonstrata sunt, centrum gravitatis magnitudinis ex omnibus compositae dividet lineam xm, ita ut pars ad x reliquae sit dupla. Dividatur itaque, et sit xα ipsius αm dupla; est ergo α centrum gravitatis inscriptae figurae. Dividatur au bifariam in ε; erit εx dupla ipsius me: est autem xa dupla ipsius αm; quare εe tripla erit eα. Est autem ae ⁷⁶¹ tripla ipsius en; constat ergo, en maiorem esse quam eα ⁷⁶² , et ideo α, quod est centrum figurae inscriptae, magis accedere ad basin conoidis quam n. Et quia est ut ae ad en ita ablatum εe ad ablatum eα, erit et reliquum ad reliquum, idest aε ad nα, ut ae ad en. Est ergo α n tertia pars ipsius a ε, et sexta ipsius au. Eodem autem pacto cylindri circumscriptae figurae demonstrabuntur esse sese aequaliter excedentes, et esse excessus aequales minimo, et habere in linea εm centra gravitatum in distantiis aequalibus. Si itaque dividatur εm in π, ita ut eπ reliquae πm sit dupla, erit π centrum gravitatis totius circumscriptae magnitudinis: et, cum ε π dupla sit ad πm, a ε autem minor sit quam dupla ad em (cum ei sit aequalis), erit tota ae minor quam tripla ipsius eπ; quare eπ maior erit ipsa en. Et cum εm tripla sit ad m π, et me cum duabus ea similiter tripla sit ad me, erit tota ae cum aε tripla ad e π. Est autem ae tripla ad en; quare reliqua aε reliquae π n tripla erit. Est igitur n π sexta pars ipsius au. Haec autem sunt, quae demostranda fuerunt.

Ex his manifestum est, posse conoidi parabolico figuram inscribi, et alteram circumscribi, ita ut centra gravitatum earum a puncto n minus quacunque proposita linea distent. Si enim sumatur linea propositae lineae sexcupla, fiantque cylindrorum axes, ex quibus figurae componuntur, hac sumpta linea minores; erunt, quae inter harum figurarum centra gravitatum et signum n cadunt lineae, proposita linea minores.

Aliter idem.

Axis conoidis, qui sit cd, dividatur in o, ita ut co ipsius od sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in linea od; circumscriptae vero centrum esse in co. Secentur figurae plano per axem et c, ut dictum est. Quia igitur cylindri sn, tm, vi, xe sunt inter se ut quadrata linearum sd, tn, vm, xi; haec autem sunt inter se ut lineae nc, cm, ci, ce; hae autem sunt sese aequaliter excedentes, et excessus aequantur minimae, nempe ce; estque cylindrus tm cylindro qn aequalis; cylindrus autem vi ipsi pn, et xe ipsi ln aequatur; ergo cylindri sn, qn, pn, ln sunt sese aequaliter excedentes, et excessus aequantur minimo eorum, nempe cylindro ln. Est autem excessus cylindri sn super cylindrum qn anulus, cuius altitudo est qt, hoc est nd, latitudo autem sq; excessus autem cylindri qn super pn est anulus, cuius latitudo est qp; excessus autem cylindri pn super ln est anulus, cuius latitudo pl. Quare dicti anuli sq, qp, pl sunt inter se aequales et cylindro ln. Anulus igitur st aequatur cylindro xe; anulus qv, qui ipsius st est duplus, aequatur cylindro vi, qui similiter cylindri xe duplus est; et eamdem ob causam anulus px cylindro tm, et cylindrus le cylindro sn aequalis erit. In libra itaque kf, puncta media rectarum ei, dn connectente, et in partes aequales punctis, h, g secta, sunt magnitudines quaedam, nempe cylindri sn, tm, vi, xe; et gravitatis centrum primi cylindri est k, secundi vero est h, tertii g, quarti f. Habemus autem et aliam libram mk, quae est ipsius fk dimidia, totidemque punctis in partes aequas distributa, nempe mh, hn, nk; et in ea aliae magnitudines, illis quae sunt in libra fk numero et magnitudine aequales, et centra gravitatum in signis m, h, n, k habentes, et eodem ordine dispositae, sunt. Cylindrus enim le centrum gravitatis habet in m, et aequatur cylindro sn centrum habenti in k; anulus vero px centrum habet h, et aequatur cylindro tm cuius centrum est h; et anulus qv, centrum habens n, aequatur cylindro vi, cuius centrum est g; et denique anulus st, centrum habens k, aequatur cylindro xe, cuius centrum est f. Igitur centrum gravitatis dictarum magnitudinum libram dividet in eadem ratione: earumdem vero unum est centrum, ac propterea punctum aliquod utrique librae commune, quod sit y. Itaque fy ad yk erit ut ky ad ym; est ergo fy dupla ipsius yk; et, divisa ce bifariam in z, erit zf dupla ipsius kd, ac propterea zd tripla ipsius dy. Rectae vero do tripla est cd: maior est ergo recta do, quam dy; ac propterea y centrum inscriptae magis ad basin accedit, quam punctum o. Et, quia ut cd ad do, ita est ablatum zd ad ablatum dy, erit et reliquum cz ad reliquum yo, ut cd ad do: nempe yo tertia pars erit ipsius cz, hoc est pars sexta ipsius ce. Eadem prorsus ratione demonstrabimus, cylindros circumscriptae figurae sese aequaliter excedere, et esse excessus aequales minimo, et ipsorum centra gravitatum in distantiis aequalibus librae kz constituta; et, pariter, anulos iisdem cylindris aequales similiter disponi in altera libra kg, ipsius kz dimidia; ac propterea circumscriptae gravitatis centrum, quod sit r, libras ita dividere, ut zr ad rk sit ut kr ad rg. Erit ergo zr dupla ipsius rk; cz vero rectae kd aequalis est, et non dupla: erit tota cd minor quam tripla ipsius dr; quare recta dr maior est quam do: scilicet centrum circumscriptae a basi magis recedit, quam punctum o. Et quia zk tripla est ad kr, et kd cum duabus zc tripla ad kd, erit tota cd cum cz tripla ipsius dr. Est autem cd tripla ad do: quare reliqua cz reliquae ro tripla erit; scilicet or sexta pars est ipsius ec. Quod est propositum.

His autem praedemonstratis, demonstratur, centrum gravitatis parabolici conoidis axem ita dividere, ut pars ad verticem reliquae ad basin sit dupla.

Esto parabolicum conoidale, cuius axis sit ab, divisus in n ita ut an ipsius nb sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis conoidis esse n punctum. Si enim non est n, aut infra ipsum, aut supra ipsum, erit. Sit, primum, infra, sitque x; et exponatur linea lo ipsi nx aequalis, et lo contingenter dividatur in s; et quam rationem habet utraque simul bx, os ad os, hanc habeat conoidale ad solidum r; et inscribatur conoidi figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut quae inter illius centrum gravitatis et punctum n intercipitur, minor sit quam ls; excessus autem, quo a conoide superatur, minor sit solido r. Hoc autem fieri posse, clarum est. Sit itaque inscripta, cuius gravitatis centrum sit i: erit iam ix maior so; et quia est, ut xb cum so ad so, ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale figuram inscriptam superat), erit conoidalis ad dictum excessum proportio, maior quam utriusque bx, os ad so; et, dividendo, figura inscripta ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam bx ad so. Habet autem bx ad xi proportionem adhuc minorem quam ad so: inscripta igitur figura ad reliquas portiones multo maiorem proportionem habebit quam bx ad xi. Quam igitur proportionem habet inscripta figura ad reliquas portiones, alia quaedam linea habebit ad xi: quae necessario maior erit quam bx. Sit igitur mx. Habemus itaque centrum gravitatis conoidis x; figurae autem in ipso inscriptae centrum gravitatis est i: reliquarum ergo portionum, quibus conoidale inscriptam figuram excedit, gravitatis centrum erit in linea xm, atque in eo ipsius puncto in quo sic terminata fuerit ut, quam proportionem habet inscripta figura ad excessum quo a conoide superatur, eandem ipsam habeat ad xi. Ostensum autem est, hanc proportionem esse illam quam habet mx ad xi; ⁷⁶³ erit ergo m gravitatis centrum earum portionum ⁷⁶⁴ quibus conoidale excedit inscriptam figuram: quod certe esse non potest; nam, si per m ducatur planum basi conoidis aequidistans, erunt omnes dictae portiones ⁷⁶⁵ versus eandem partem, nec ab eo dividentur. Non est igitur gravitatis centrum ipsius conoidis infra punctum n. Sed neque supra. Sit enim, si fieri potest, h; et rursus, ut supra, exponatur linea lo aequalis ipsi hn, et contingenter divisa in s; et quam proportionem habet utraque simul bn, so ad sl, hanc habeat conoidale ad r; et conoidali circumscribatur ⁷⁶⁶ figura ex cylindris, ut dictum est, a qua minori quantitate excedatur, quam sit solidum r; et linea inter centrum gravitatis circumscriptae et signum n sit minor quam so: erit residua uh maior quam ls; et quia est, ut utraque bn, os ad sl, ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale a circumscripta superatur), ergo bn, so ad sl minorem rationem habet quam conoidale ad dictum excessum. Est autem bu minor quam utraque bn, so; uh autem, maior quam sl: multo igitur maiorem rationem habet conoidale ad dictas portiones ⁷⁶⁷ , quam bu ad uh. Quam igitur rationem habet conoidale ad easdem ⁷⁶⁸ portiones, hanc habebit ad uh linea maior ipsa bu. Habeat, sitque ea mu; et, quia centrum gravitatis circumscriptae figurae est u, centrum vero conoidis est h, atque est ut conoidale ad residuas portiones ⁷⁶⁹ ita mu ad uh, erit m centrum gravitatis residuarum portionum: quod similiter est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis conoidis supra punctum n: sed demonstratum est, quod neque infra: restat ergo ut in ipso n sit necessario. Et eadem ratione demonstrabitur de conoide plano super axe non erecto secto. Aliter, idem, ut constat in sequenti, centrum gravitatis conoidis parabolici inter centrum circumscriptae figurae et centrum inscriptae cadit.

Sit conoidale, cuius axis ab; et centrum circumscriptae sit c, inscriptae vero sit o. Dico, centrum conoidis inter c, o puncta esse. Nam, si non, infra vel supra vel in altero eorum erit. Sit infra, ut in r: et, quia r est centrum gravitatis totius conoidis, inscriptae autem figurae est gravitatis centrum o, reliquarum ergo portionum ⁷⁷⁰ , quibus inscripta figura a conoide superatur, centrum gravitatis erit in linea or ad partes r extensa, atque in eo puncto in quo sic terminatur, ut quam rationem habent dictae portiones ⁷⁷¹ ad inscriptam, eandem habeat or ad lineam inter r et punctum illud cadentem. Sit haec ratio illa quam habet or ad rx. Aut igitur x cadet extra conoidem, aut intra, aut in ipsa basi. Si vel extra, vel in basi cadat, iam manifestum est absurdum. Cadat intra: et, quia xr ad ro est ut inscripta figura ad excessum quo a conoide superatur, rationem illam quam habet br ad ro, eandem habeat inscripta figura ad solidum k, quod necessario minus erit dicto excessu; et inscribatur alia figura, quae a conoide superetur minori quantitate quam sit k, cuius gravitatis centrum cadet intra oc ⁷⁷² . Sit u: et, quia prima figura ad k est ut br ad ro, secunda autem figura, cuius centrum u, maior est prima, et a conoide exceditur minori quantitate quam sit k, quam rationem habet secunda figura ad excessum quo a conoide superatur, hanc habebit ad ru linea maior ipsa br. Est autem r centrum gravitatis conoidis; inscriptae autem secundae, u: centrum ergo reliquarum portionum ⁷⁷³ erit extra conoidem ⁷⁷⁴ , infra b; quod est impossibile. Et eodem pacto demonstrabitur, centrum gravitatis eiusdem conoidis non esse in linea ca. Quod autem non sit alterum punctorum c, o, manifestum est. Si enim dicas esse, descriptis aliis figuris, inscripta quidem maiori illa cuius centrum o, circumscripta vero minore ea cuius centrum c, centrum conoidis extra harum figurarum centrum caderet; quod nuper, impossibile esse, conclusum est. Restat ergo ut inter centrum circumscriptae et inscriptae figurae sit. Quod si ita est, necessario erit in signo illo, quod axem dividit ut pars ad verticem reliquae sit dupla. Cum enim circumscribi ⁷⁷⁵ et inscribi possint figurae, ita ut quae inter ipsarum centrum et dictum signum cadunt lineae, quacunque linea sint minores, aliter dicentem ad impossibile deduceremus: quod, scilicet, centrum conoidis non intra inscriptae et circumscriptae centra caderet.

Si fuerint tres lineae proportionales, et quam proportionem habet minima ad excessum quo maxima minimam superat, eandem habeat linea quaedam sumpta ad duas tertias excessus quo maxima mediam superat; et, item, quam proportionem habet composita ex maxima et dupla mediae ad compositam ex tripla maximae et mediae, eandem habuerit alia linea sumpta ad excessum quo maxima mediam excedit; erunt ambae lineae sumptae simul, tertia pars maximae proportionalium.

Sint tres lineae proportionales ab, bc bf: et quam proportionem habetbf adaf, hanc habeat ms ad duas tertias ipsiusca; quam vero proportionem habet composita exab et duplabc ad compositam ex tripla utrisqueab, bc, eandem habeat alia, nempesn, adac. Demonstrandum est, mn tertiam esse partem ipsiusab. Quia itaqueab, bc, bf sunt proportionales, erunt etiam ac, cf in eadem ratione: est igitur utab adbc, itaac adcf; et ut tripla ab ad triplam bc, itaac adcf. Quam itaque rationem habet tripla ab cum tripla bc ad triplam cb, hanc habebit ac ad lineam minorem ipsacf. Sit illa co. Quare, componendo et per conversionem proportionis, oa adac eandem habebit rationem, quam triplaab cum sexcuplabc ad triplamab cum triplabc: habet autemac adsn eandem rationem quam triplaab cum tripla bc adab cum duplabc: ex aequali igituroa adns eandem habebit rationem, quam triplaab cum sexcuplabc adab cum duplabc. Verum triplaab cum sexcuplabc triplae sunt adab cum dupla bc; ergo ao tripla est adsn.

Rursus: quia oc ad ca est ut tripla cb ad triplam ab cum tripla cb; est autem sicut ca ad cf, ita tripla ab ad triplam bc; ex aequali, ergo, in proportione perturbata, ut oc ad cf, ita erit tripla ab ad triplam ab cum tripla bc, et, per conversionem rationis, ut of ad fc, sic tripla bc ad triplam ab cum tripla bc. Est autem, sicut cf ad fb, ita ac ad cb, et tripla ac ad triplam bc; ex aequali igitur, in proportione perturbata, ut of ad fb ita tripla ac ad triplam utriusque simul ab, bc. Tota igitur ob ad bf erit ut sexcupla ab ad triplam utriusque ab, bc ⁷⁷⁶ ; et, quia fc, ca in eadem sunt ratione et cb, ba, erit sicut fc ad ca, ita bc ad ba, et, componendo, ut fa ad ac, ita utraque ba, bc ad ba, et sic tripla ad triplam: ergo ut fa ad ac, ita composita ex tripla ba et tripla bc ad triplam ab; quare, sicut fa ad duas tertias ipsius ac, sic composita ex tripla ba et tripla bc ad duas tertias triplae ba, hoc est ad duplam ba. Sed sicut fa ad duas tertias ipsius ac, ita fb ad ms; sicut ergo fb ad ms, ita composita ex tripla ba et tripla bc ad duplam ba. Verum sicut ob ad fb, ita erat sexcupla ab ad triplam utriusque ab, bc: ergo, ex aequali, ob ad ms eandem habebit rationem quam sexcupla ab ad duplam ba; quare ms erit tertia pars ipsius ob. Et demonstratum est, sn tertiam esse partem ipsius ao: constat ergo, mn ipsius ab tertiam similiter esse partem. Et hoc est quod demonstrandum fuit.

Cuiuslibet frusti a conoide parabolico abscissi centrum gravitatis est in linea recta quae frusti est axis; qua in tres aequas partes divisa, centrum gravitatis in media existit, eamque sic dividit, ut pars versus minorem basim ad partem versus maiorem basim, eandem habeat rationem quam maior basis ad basim minorem.

A conoide, cuius axis rb, abscissum sit solidum, cuius axis be, et planum abscindens sit basi aequidistans; secetur autem altero plano per axem super basin erectum, sitque sectio parabolae urc; huius autem et plani secantis et basis sectiones sint lineae rectae lm, uc: erit rb diameter proportionis, vel diametro aequidistans; lm, uc erunt ordinatim applicatae. Dividatur itaque eb in tres partes aequales, quarum media sit qy; haec autem signo i ita dividatur, ut, quam rationem habet basis cuius diameter uc, ad basin cuius diameter lm, hoc est quam habet quadratum uc ad quadratum lm, eandem habeat qi ad iy. Demostrandum est, i centrum gravitatis esse frusti lmc. Exponatur linea ns aequalis ipsi br, et sx aequalis sit er; ipsarum autem ns, sx sumatur tertia proportionalis sg; et quam proportionem habet ng ad gs, hanc habeat linea bq ad io. Nihil autem refert, si punctus o supra vel infra lm cadat. Et quia in sectione urc lineae lm, uc ordinatim sunt applicatae, erit ut quadratum uc ad quadratum lm, ita linea br ad re: est autem ut quadratum uc ad quadratum lm, ita qi ad iy, et ut br ad re, ita ns ad sx: ergo qi ad iy est ut ns ad sx ⁷⁷⁷ . Quare ut qy ⁷⁷⁸ ad yi, ita erit utraque ns, sx ad sx, et ut eb ad yi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad sx: est autem ut eb ad by, ita composita ex tripla utriusque simul ns, sx ad compositam ex ns, sx: ergo ut eb ad bi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad compositam ex ns et dupla sx. Sunt igitur tres lineae proportionales, ns, sx, gs; et quam proportionem habet sg ad gn, hanc habet quaedam sumpta oi ad duas tertias ipsius eb, hoc est ipsius nx; quam autem proportionem composita ex ns et dupla sx, ad compositam ex tripla ns et tripla sx, eandem habet alia quaedam sumpta ib ad be, hoc est ad nx. Per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius ns, hoc est ipsius rb; est ergo rb tripla ipsius bo: quare o erit centrum gravitatis conoidis urc. Sit autem a centrum gravitatis ⁷⁷⁹ conoidis lrm; frusti ergo ulmc centrum gravitatis est in linea ob, atque in eo puncto qui illam sic terminat, ut quam rationem ⁷⁸⁰ habet ulmc frustum ad lrm portionem ⁷⁸¹ , ⁷⁸² eam habeat linea ao ad eam quae inter o et dictum punctum intercedit. Et quia ro est duae tertiae ipsius rb, ra vero duae tertiae ipsius re; erit reliqua ao duae tertiae reliquae eb. Et quia est, ut frustum ulmc ad portionem lrm ⁷⁸³ , ita ng ad gs; ut autem ng ad gs, ita duae tertiae eb ad oi; duabus autem tertiis ipsius eb aequalis est linea ao; erit ut frustum ulmc ad portionem lrm, ita ao ad oi. Constat igitur, frusti ulmc gravitatis centrum esse punctum i, et axem ita dividere, ut pars versus minorem basin ad partem versus maiorem sit ut dupla maioris basis una cum minori ad duplam minoris una cum maiori. Quod est propositum elegantius explicatum.

Si magnitudines quotcunque ita inter se dispositae, ut secunda addat super primam duplum primae, tertia addat super secundam triplum primae, quarta vero addat super tertiam quadruplum primae, et sic unaquaeque sequentium super sibi proximam addat magnitudinem primae multiplicem secundum numerum quem ipsa in ordine retinuerit; si, inquam, hae magnitudines ordinatim in libra ex distantiis aequalibus suspendantur; centrum aequilibrii omnium compositarum libram ita dividet, ut pars versus minores magnitudines reliquae sit tripla.

-

Esto libra LT; et magnitudines, quales dictum est, in ea pendeant, et sint A, F, G, H, K, quarum A ex T suspensa sit prima. Dico, centrum aequilibrii libram TL ita secare, ut pars versus T reliquae sit tripla. Sit TL tripla ad LI, et SL tripla LP, et QL ipsius LN, et LP ipsius LO; erunt IP, PN, NO, OL aequales. Et accipiatur in F magnitudo ipsius A dupla, in G vero alia eiusdem tripla, in H eiusdem quadrupla, et sic deinceps; et sint sumptae magnitudines illae in quibus a. Et idem fiat in magnitudinibus F, G, H, K: quum enim in F reliqua magnitudo, nempe b, sit aequalis A, sumatur in G ipsius dupla, in H tripla etc.; et sint hae magnitudines sumptae, in quibus b: et eodem pacto sumantur illae, in quibus c, et in quibus d, et e. Erunt iam omnes in quibus a, aequales ipsi K; composita vero ex omnibus b aequabitur ipsi H; composita ex c, ipsi G; ex omnibus d vero composita aequabitur F; et e, ipsi A. Et, quia TI dupla est IL, erit I punctum aequilibrii magnitudinis compositae ex omnibus a; et, similiter, cum SP ipsius PL sit dupla, erit P punctum aequilibrii compositae ex omnibus b; et, eamdem ob causam, N erit punctum aequilibrii compositae ex omnibus c; O, vero, compositae ex d; et L, ipsius e. Est igitur libra quaedam TL, in qua ex distantiis aequalibus pendent magnitudines quaedam K, H, G, F, A; et, rursus, est alia libra LI, in qua ex distantiis similiter aequalibus pendent totidem numero magnitudines, et eodem ordine praedictis aequales: est enim composita ex omnibus a, quae pendet ex I, aequalis K pendenti ex L; et composita ex omnibus b, quae pendet ex P, aequatur H pendenti ex P; et, similiter, composita ex c, quae pendet ex N, aequatur G; et composita ex d, quae pendet ex O, aequatur F; et e, pendens ex L, aequalis est A. Quare librae eadem ratione a centro compositarum magnitudinum dividentur: unum est autem centrum compositae ex dictis magnitudinibus: erit ergo punctum commune rectae TL et rectae LI, centrum; quod sit X. Itaque ut TX ad XL, ita erit LX ad XI, et tota TL ad LI: est autem TL ipsius LI tripla: quare et TX ipsius XL tripla erit.

Si magnitudines quotcumque ita sumantur, ut secunda addat super primam triplum primae, tertia vero super secundam addat quintuplum primae, quarta autem super tertiam addat septuplum primae, et sic deinceps uniuscuiusque augmentum super sibi proximam procedat multiplex primae magnitudinis secundum numeros consequenter impares, sicuti procedunt quadrata linearum sese aequaliter excedentium, quarum excessus minimae sit aequalis; et in libra ex distantiis aequalibus suspendantur; omnium compositarum centrum aequilibrii libram dividet, ut pars versus minores magnitudines reliquae sit maior quam tripla, eadem vero, dempta una distantia, eiusdem minor sit quam tripla.

Sint in libra BE magnitudines, quales dictum est, a quibus auferantur magnitudines aliquae inter se ut quae in praecedenti dispositae fuerunt; et sint compositae ex omnibus a: erunt reliquae, in quibus c, eodem ordine distributae, sed deficientes maxima. Sit ED tripla DB, et GF tripla FB; erit D centrum aequilibrii compositae ex omnibus a; F vero, compositae ex omnibus c: quare compositae ex omnibus a, c, centrum cadet inter D et F. Sit O. Manifestum itaque est, EO ipsius OB maiorem esse quam triplam; GO vero eiusdem OB minorem esse quam triplam. Quod demonstrandum erat.

Si cuicumque cono, vel coni portioni, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus figura una inscribatur, et altera circumscribatur; itemque axis eius ita dividatur, ut pars quae inter punctum divisionis et verticem intercipitur, reliquae sit tripla; erit inscriptae figurae gravitatis centrum propinquius basi coni quam punctum illud divisionis; circumscriptae vero centrum gravitatis eodem puncto erit vertici propinquius.

Sit itaque conus, cuius axis nm dividatur in s ita ut ns reliquae sm sit tripla. Dico, cuiuscumque figurae cono, ut dictum est, inscriptae centrum gravitatis in axe nm consistere, et ad basin coni magis accedere quam s punctum; circumscriptae vero gravitatis centrum similiter in axe nm esse, et vertici propinquius quam sit s. Intelligatur itaque inscripta figura ex cylindris, quorum axes mc, cb, be, ea aequales sint. Primus itaque cylindrus, cuius axis mc, ad cylindrum, cuius axis cb, eamdem habet rationem quam sua basis ad basin alterius (sunt enim eorum altitudines aequales); haec autem ratio eadem est ei quam habet quadratum cn ad quadratum nb. Et similiter ostendetur, cylindrum, cuius axis cb, ad cylindrum, cuius axis be, eandem habere rationem quam quadratum bn ad quadratum ne; cylindrum vero, cuius axis be, ad cylindrum circa axem ea, eam quam habet quadratum en ad quadratum na. Sunt autem lineae nc, nb, en, na sese aequaliter excedentes, et earum excessus aequantur minimae, nempe ipsi na. Sunt igitur magnitudines quaedam, nempe inscripti cylindri, eam inter se consequenter rationem habentes, quam quadrata linearum sese aequaliter excedentium et quarum excessus minimae aequantur: suntque ita dispositi in libra ti, ut singulorun centra gravitatum in ea, et in distantiis aequalibus, consistant. Per ea igitur quae supra demonstrata sunt, constat, gravitatis centrum omnium ita compositorum libram ti ita dividere, ut pars versus t sit maior quam tripla reliquae. Sit hoc centrum o; est ergo to maior quam tripla ipsius oi. Verum tn tripla est ad im; ergo tota mo minor erit quam pars quarta totius mn, cuius ms pars quarta posita est. Constat ergo, signum o basi coni magis accedere quam s. Verum sit iam circumscripta figura constans ex cylindris, quorum axes mc, cb, be, ea, an inter se sint aequales. Similiter, ut de inscriptis, ostendetur, esse inter se sicut quadrata linearum mn, nc, bn, ne, an, quae sese aequaliter excedunt, excessusque aequatur minimae an; quare, per praemissam, centrum gravitatis omnium cylindrorum ita dispositorum, quod sit u, libram ri sic dividet, ut pars versus r, nempe ru, reliquae ui sit maior quam tripla; tu vero eiusdem minor erit quam tripla. Sed nt tripla est ipsius im; igitur tota um maior est quam pars quarta totius mn, cuius ms pars quarta posita est. Itaque punctum u vertici propinquius est quam punctum s. Quod ostendendum erat.

Cono dato potest figura circumscribi et altera inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut linea quae inter centrum gravitatis circumscriptae et centrum gravitatis inscriptae intercipitur, minor sit quacumque linea proposita.

Sit datus conus, cuius axis ab; data autem recta sit k. Dico: exponatur cylindrus l aequalis ei qui in cono inscribitur, altitudinem habens dimidium axis ab, et ab dividatur in c, ita ut ac ipsius cb tripla sit, et quam rationem habet ac ad k, hanc habeat cylindrus l ad solidum x: cono autem circumscribatur figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, et altera inscribatur, ita ut circumscripta excedat inscriptam minori quantitate quam sit solidum x; sitque circumscriptae gravitatis centrum e, quod cadet supra c; inscriptae vero centrum sit s, cadens sub c. Dico iam, es lineam ipsa k minorem esse. Nam, si non, ponatur ipsi ca aequalis eo: quia igitur oe ad k eandem habet rationem quam l ad x, inscripta vero figura minor non est cylindro l, excessus autem, quo dicta figura a circumscripta superatur, minor est solido x; inscripta igitur figura ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam oe ad k. Ratio autem oe ad k non est minor ea quam habet oe ad es, cum es non ⁷⁸⁴ ponatur minor k; igitur inscripta figura ad excessum, quo a circumscripta superatur, maiorem habet rationem quam oe ad es. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad lineam es linea ⁷⁸⁵ quaedam maior ipsa eo. Sit illa er; est autem inscriptae figurae centrum gravitatis s; circumscriptae vero centrum est e: constat ergo, reliquarum portionum ⁷⁸⁶ , quibus circumscripta excedit inscriptam, centrum gravitatis esse in linea re, atque in eo puncto, a quo sic terminatur, ut quam rationem habet inscripta ad dictas portiones ⁷⁸⁷ , eandem habeat linea inter e et punctum illud intercepta, ad lineam es. Hanc vero rationem habet re ad es; ergo reliquarum portionum, quibus circumscripta superat inscriptam figuram, gravitatis centrum erit r: quod est impossibile; planum enim ductum per r basi coni aequidistans dictas portiones non secat. Falsum igitur est, lineam es non esse minorem ipsa k; erit ergo minor. Haec autem, non dissimili modo, in pyramide fieri posse, demonstrabuntur.

Ex his manifestum est, cono dato posse figuram unam circumscribi et alteram inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut lineae, quae inter earum centra gravitatum, et punctum quod axem coni ita dividit ut pars ad verticem reliquae sit tripla, intercipiuntur, quacunque data linea sint minores. Cum enim, ut demonstratum est, dictum punctum axem dividens, ut dictum est, semper inter circumscriptae et inscriptae gravitatum centra reperiatur; fierique possit, ut quae inter eadem centra mediat ⁷⁸⁸ linea, minor sit quacumque linea proposita; multo minor eadem proposita linea sit, quae inter alterum centrorum et dictum punctum axem dividens intercipitur.

Cuiuslibet coni vel pyramidis centrum gravitatis axem dividit, ut pars ad verticem reliquae ad basin sit tripla.

Esto conus, cuius axis ab, et in c dividatur, ita ut ac reliquae cb sit tripla: ostendendum est, c esse gravitatis centrum coni. Nam si non est, erit coni centrum aut supra, aut infra punctum c. Sit prius infra, et sit e; et exponatur linea lp aequalis ce, quae contingenter dividatur in n; et quam rationem habet utraque simul be, pn ad pn, hanc habeat conus ad solidum x; et inscribatur cono solida figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, cuius centrum gravitatis a puncto c minus distet quam sit linea ln; et excessus, quo a cono superatur, minor sit solido x. Haec enim fieri posse, ex demonstratis manifestum est. Sit iam inscripta figura, qualis petitur, cuius centrum gravitatis sit i. Erit igitur ie linea maior quam np, cum lp sit ⁷⁸⁹ aequalis ce; et ic, minor ln: et, quia utraque simul be, np ad np est ut conus ad x, excessus autem, quo conus inscriptam figuram superat, minor est solido x, ergo conus ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam utraque be, np ad np; et, dividendo, inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, maiorem rationem habebit quam be ad np. Habet autem be ad ei minorem adhuc rationem quam ad np, cum ie maior ⁷⁹⁰ sit np; ergo inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, multo maiorem rationem habet quam be ad ei. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad ei linea quaedam maior ipsa be. Sit illa me: quia igitur me ad ei est ut inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, et est e centrum gravitatis coni, i vero est gravitatis centrum inscriptae, ergo m erit centrum gravitatis reliquarum portionum ⁷⁹¹ , quibus conus inscriptam sibi figuram excedit; quod est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis coni infra c punctum. Sed neque supra. Nam, si potest, sit r; et rursus sumatur linea lp, contingenter in n secta; et quam rationem habet utraque simul bc, np ad nl, hanc habeat conus ad x; et circumscribatur similiter cono figura, a qua minori quantitate superetur, quam sit solidum x; et linea, quae inter illius centrum gravitatis et c intercipitur, minor sit ipsa np. Sit iam circumscripta, cuius centrum sit o: erit reliqua or maior ipsa nl. Et quia, ut utraque simul bc, pn ad nl, ita conus ad x, excessus vero, quo conus a circumscripta superatur, minor est quam x, ipsa vero bo minor est quam utraque simul bc, pn, ipsa autem or maior quam ln; conus igitur ad reliquas portiones ⁷⁹² , quibus a circumscripta superatur, multo maiorem rationem habebit quam bo ad or. Habeat rationem illam mo ad or: erit mo maior ipsa bc; et m erit centrum gravitatis portionum ⁷⁹³ , quibus conus a circumscripta superatur figura; quod est inconveniens. Non est ergo gravitatis centrum ipsius coni supra punctum c: sed neque infra, ut ostensum est: ergo erit ipsum c. Et idem, eodem prorsus modo, in pyramide quacumque demonstrabitur.

Si fuerint quatuor lineae continue proportionales; et quam rationem habet minima earum ad excessum quo maxima minimam superat, eandem habuerit linea quaedam sumpta ad 3/4 excessus quo maxima secundam superat; quam autem rationem habet linea his aequalis, maximae, duplae secundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem quadruplae maximae, quadruplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem habuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam superat; erunt istae duae lineae, simul sumptae, quarta pars maximae proportionalium.

Sint enim quatuor lineae proportionales ab, bc, bd, be; et quam rationem habet be ad ea, eandem habeat fg ad 3/4 ipsius ac; quam autem rationem habet linea aequalis ab et duplae bc et triplae bd, ad aequalem quadruplae ipsarum ab, bc, bd, hanc habeat hg ad ac. Ostendendum est, hf quartam esse partem ipsius ab. Quia igitur ab, bc, bd, be sunt proportionales, in eadem ratione erunt etiam ac, cd, de; et ut quadrupla ipsarum ab, bc, bd ad ab cum dupla bc et tripla bd, ita quadrupla ipsarum ac, cd, de, hoc est quadrupla ipsius ae, ad ac cum dupla cd et tripla de; et sic est ac ad hg: ergo ut tripla ipsius ae ad ac cum dupla cd et tripla de, ita 3/4 ipsius ac ad hg. Est autem ut tripla ae ad triplam eb, ita 3/4 ac ad gf: ergo, per conversam vigesimam quartam quinti, ut tripla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, ita 3/4 ipsius ac ad hf; et ut quadrupla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, hoc est ad ab cum cb et bd, ita ac ad hf; et, permutando, ut quadrupla ae ad ac, ita ab cum cb et bd ad hf; ut autem ac ad ae, ita ab ad ab cum cb et bd: ergo, ex aequali, in proportione perturbata, ut quadrupla ae ad ae, ita ab ad hf. Quare constat, hf quartam esse partem ipsius ab.

Cuiuscumque frusti pyramidis, seu coni, plano basi aequidistante secti, centrum gravitatis in axe consistit; eumque ita dividit, ut pars versus minorem basin ad reliquam sit ut tripla maioris basis cum spacio duplo medii inter basin maiorem et minorem una cum basi minori, ad triplam minoris basis cum eodem duplo spatii medii et cum basi ⁷⁹⁴ maiori.

A cono vel pyramide, cuius axis ad, secetur plano basi aequidistante frustum, cuius axis ud; et quam rationem habet tripla maximae basis cum dupla mediae et minima ad triplam minimae cum dupla mediae et maxima, hanc habeat uo ad od. Ostendendum est, o centrum gravitatis frusti existere. Sit um quarta pars ipsius ud. Exponatur linea hx ipsi ad aequalis, sitque kx aequalis au; ipsarum vero hx, kx tertia ⁷⁹⁵ proportionalis sit xl, et quarta xs: et quam rationem habet hs ad sx, hanc habeat md ad lineam sumptam ab o ⁷⁹⁶ versus a; quae sit on. Et quia maior basis ad eam quae inter maiorem et minorem est media proportionalis, est ut da ad au, hoc est ut hx ad xk, dicta autem media ad minorem est ut kx ad xl; erunt maior, media, et minor basis in eadem ratione et lineae hx, xk, xl. Quare ut tripla maioris basis cum dupla mediae et minima, ad triplam minimae cum dupla mediae et maxima, hoc est ut uo ad od, ita tripla hx cum dupla xk et xl, ad triplam xl cum dupla xk et xh; et, componendo et convertendo, erit od ad du, ut hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl. Sunt igitur 4 lineae proportionales, hx, xk, xl, xs; et quam rationem habet xs ad sh, hanc habet linea quaedam sumpta no ad 3/4 ipsius du, nempe ad dm, hoc est ad 3/4 ipsius hk; quam autem rationem habet hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, eandem habet alia quaedam sumpta od ad du, hoc est ad hk: ergo (per ea quae demonstrata sunt) dn erit quarta pars ipsius hx, hoc est ipsius ad; quare punctum n erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cuius axis ad. Sit pyramidis, vel coni, cuius axis au, centrum gravitatis i. Constat igitur, centrum gravitatis frusti esse in linea in ad partes n extensa, in eoque eius puncto qui cum puncto n lineam intercipiat, ad quam in eam habeat rationem quam abscissum frustum habet ad pyramidem vel conum, cuius axis au. Ostendendum itaque restat, in ad no eandem habere rationem quam frustum ad conum cuius axis au. Est autem ut conus cuius axis da ad conum cuius axis au, ita cubus da ad cubum au, hoc est cubus hx ad cubum xk: haec autem eadem est proportio quam habet hx ad xs: quare, dividendo, ut hs ad sx, ita erit frustum cuius axis du, ad conum vel pyramidem cuius axis ua. Est autem ut hs ad sx, ita etiam md ad on; quare frustum ad pyramidem cuius axis au, est ut md ad no. Et quia an est 3/4 ipsius ad; ai autem 3/4 ipsius au; erit reliqua in 3/4 reliquae ud; quare in aequalis erit ipsi md. Et demonstratum est, md ad no esse ut frustum ad conum au: constat ergo, hanc eandem rationem habere etiam in ad no. Quare patet propositum.

Lemma.

Si fuerint quatuor lineae proportionales; et quam rationem habet minima earum ad excessum quo maxima minimam superat, eandem habuerit linea quaedam sumpta ad tres quartas excessus quo maxima secundam superat; quam autem rationem habet linea his aequalis, maximae, duplae secundae et triplae tertiae ⁷⁹⁷ , ad lineam aequalem quadruplae maximae, quadruplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem habuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam superat; erunt istae duae lineae, simul sumptae quarta pars maximae ⁷⁹⁸ proportionalium.

Sint enim quatuor lineae ⁷⁹⁹ proportionales ab, bc, bd, be; et quam rationem habet be ad ea, eandem habeat fg ad 3/4 ipsius ac; quam autem rationem habet linea aequalis ab, duplae ⁸⁰⁰ bc, et triplae bd, ad aequalem quadruplae ipsarum ab, bc, bd, hanc habeat hg ad ac. Ostendendum est, hf quartam esse partem ipsius ab. Quia igitur ab, bc, bd, be sunt proportionales, in eadem ratione erunt etiam ac, cd, de; et ut quadrupla ipsarum ab, bc, bd ad ab cum dupla bc et tripla bd, ita quadrupla ipsarum ac, cd, de, hoc est quadrupla ipsius ae, ad ac cum dupla cd et tripla de; et sic est ac ad hg: ergo ut tripla ipsius ae ad ac cum dupla cd et tripla de, ita ⁸⁰¹ 3/4 ipsius ac ad hg. Est autem ut tripla ae ad triplam eb, ita 3/4 ac ad gf: ergo, per conversam 24m5i ⁸⁰² , ut tripla ae ad ac cum dupla cd et tripla db, ita 3/4 ipsius ac ad hf; et ut quadrupla ae ⁸⁰³ ad ac cum dupla cd et tripla db, hoc est ad ab cum cb et bd, ita ac ad hf; et, permutando, ut quadrupla ac ad ac, ita ab cum cb et bd ad hf; ut autem ac ad ae, ita ab ad ab cum cb et bd: ergo, ex aequali in proportione perturbata, ut quadrupla ae ad ae, ita ab ad hf. Quare constat, hf quartam ⁸⁰⁴ esse partem ipsius ab.

Cuiuscunque frustri pyramidis, seu coni, plano basi aequidistante ⁸⁰⁵ abscissi, centrum gravitatis in axe consistit, ita ut, prius ab eo utrinque quarta sui parte dempta, centrum gravitatis in reliqua consistit; eamque sic dividit, ut pars versus minorem basem ad reliquam eandem habeat rationem, quam spacium quod basium ⁸⁰⁶ sit medium proportionale cum duplo maioris basis habet ad idem spacium inter bases proportionale cum duplo minoris basis.

A cono vel pyramide, cuius axis ad, secetur plano basi aequidistante ⁸⁰⁷ frustrum, cuius axis ud; ab ud autem utrinque quarta sui pars auferatur, et reliqua intermedia sit mr, quae in signo o dividatur ⁸⁰⁸ ita ut mo ad or eandem habeat rationem, quam dupla maioris basis, cum ea quae inter maiorem et minorem basem est intermedia in ratione, habet ad eandem mediam una cum dupla minoris basis. Ostendendum est, o centrum gravitatis frustri ⁸⁰⁹ existere. [11 et 12, 6] Exponatur linea hx ipsi ad aequalis, sitque kx aequalis au; ipsarum vero hx, xk tertia proportionalis sit xl, et quarta xs: et quam rationem habet hs ad sx, hanc habeat md ad lineam sumptam ab o versus a; quae sit on. [20, 6 vel 2, 12 vel per 7 Conoidum Archim.] Et quia maior basis ad eam quae inter maiorem et minorem est media proportionalis, est ut da ad au ⁸¹⁰ , hoc est ut hx ad xk, dicta autem media ad minorem est ut kx ⁸¹¹ ad xl; erunt maior, media et minor bases in eadem ratione et lineae hx, xk, xl. Quare ut dupla maioris basis cum media, ad mediam cum dupla minoris, hoc est ut mo ad or, ita erit dupla hx cum xk, ad kx cum dupla xs: et, componendo, ut mr ad ro, ita dupla ipsarum hx, xk, xl ad kx cum dupla xl; et ut ud, quae est dupla ipsius mr ad or, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl ad kx cum dupla xl. Est autem ut ud ad dr, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl ad aequalem ipsis hx, xk, xl; ergo ut ud ad do, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl, ad hx cum dupla xk et tripla xl. Sunt itaque quatuor lineae proportionales hx, xk, xl, xs; et quam rationem habet xs ad sh, hanc habet linea quaedam sumpta no ad 3/4 ipsius du, nempe ad dm, hoc est ad 3/4 ipsius hk; quam autem rationem habet hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, eandem habet alia quaedam sumpta od ad du, hoc est ad hk; [per lemma superius] ergo dn erit quarta pars ipsius hx, hoc est ipsius ad; quare punctum n erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cuius axis ad. Sit pyramidis, vel coni, cuius axis au, centrum gravitatis i. Constat igitur, centrum gravitatis frustri esse in linea in ad partes n extensa, in eoque eius puncto qui cum puncto n lineam intercipiat, ad quam in eam habeat rationem quam abscissum frustrum habet ad pyramidem vel conum cuius axis au. Est autem dictum centrum o: ostendendum itaque restat, in ad no eandem habere rationem quam frustrum ad conum cuius axis au. Est autem ut conus cuius axis da ad conum cuius axis au, ita cubus da ad cubum au, hoc est cubus hx ad cubum xk: haec autem eadem est proportio quam habet hx ad xs: quare, dividendo, ut hs ad sx, ita erit frustrum cuius axis du, ad conum vel pyramidem cuius axis ua. Est autem ut hs ad sx, ita md ad on; quare frustrum ad pyramidem cuius axis au, est ut md ad no. Et quia an est 3/4 ipsius ad; ai autem est 3/4 ipsius au; erit reliqua in 3/4 reliquae ud; quare in aequalis erit ipsi md. Et demonstratum ⁸¹² est, md ad no esse ut frustrum ad conum au: constat ergo, hanc eandem rationem habere etiam in ad no. Quare patet propositum.

LA BILANCETTA

AVVERTIMENTO.

----------------------

Prendendo Galileo a studiare i più grandi scrittori di cose matematiche dell'antichità, compiuta la lettura degli Elementi d'Euclide, soffermossi con maggior compiacenza sopra Archimede; e giunto ai due trattati De aequiponderantibus e De his quae vehuntur in aqua, e precisamente a quel passo di Proclo Licio nel quale si narra il modo tenuto dal Filosofo siracusano per iscoprire il furto dell'orefice nella corona d'oro di Ierone, opinò che Archimede non vi procedesse nella maniera comunemente riferita, ed escogitò un procedimento che risolve con esattezza il quesito. Il risultato di questi studi espose Galileo in una breve scrittura; e lo strumento in essa suggerito è lo stesso che fu poi detto «bilancia idrostatica» e che, sotto nuove e varie forme, fu adoperato col nome di «idrostammo» dagli Accademici del Cimento.

Tale scrittura non fu data allo stampe vivente l'Autore; ma bensì, mostrata subito, vale a dire nell'anno 1586, agli amici e conoscenti, più tardi a' discepoli, si diffuse manoscritta ⁸¹³ . Giovanni Battista Mantovani la commentò con dotte ed ingegnose osservazioni: corredato di queste, delle annotazioni di Benedetto Castelli, e delle illustrazioni di Vincenzio Viviani, il lavoro di Galileo vide poi più volte la luce.

Nel riprodurre questa scrittura, sceverata, conformemente al proposito nostro ⁸¹⁴ , dalle dette aggiunte, credemmo doverla restituire con la maggior fedeltà sopra l'autografo, il quale, senza titolo e mutilo delle ultime linee, ci è stato conservato in un foglio che ora è inserito nel T. XVI (car. 55) della Par. II dei Manoscritti Galileiani posseduti dalla Biblioteca Nazionale di Firenze. Sostituimmo bensì la grafia moderna a quella dell'Autore e dell'età sua in pochi particolari, ne' quali non è certo supponibile che al segno grafico rispondesse il suono neppure sulla bocca di Galileo, e che, d'altra parte, conservati, avrebbero dato soverchia noia al lettore ⁸¹⁵ . Abbiamo inoltre corretto, come di solito, alcuni materiali trascorsi di penna dell'Autore ⁸¹⁶ . Invece qualche incostanza di grafia, come il raddoppiamento o lo scempiamento della z specialmente nelle desinenze dei nomi, e qualche altra singolarità, rispettammo; dove volemmo che il testo, piuttosto che la variante, massime trattandosi di scrittura così breve, rispecchiasse direttamente le forme consuete a Galileo e ai contemporanei. Di che, se non ci vorranno far rimprovero i discreti, speriamo ci sappiano grado gli studiosi della storia di nostra lingua.

Oltre che dall'autografo, la Bilancetta ci fu conservata da più copie sincrone; le quali, nonostante l'esistenza di quello, non si possono trascurare del tutto. Mentre infatti le varie copie da noi studiate offrono, tra sè e rispetto all'autografo, differenze di lezione, onde è esclusa la derivazione e dell'una dall'altra e di tutte da quell'esemplare di pugno dell'Autore che pervenne fino a noi, è notabile come in altri luoghi tutte, o la più parte, s'accordino in una lezione unica, e diversa da quella che conosciamo per quest'esemplare: onde nasce il sospetto che tali copie possano rappresentarci, almeno in parte, autentiche modificazioni, che Galileo stesso avrà forse introdotte in occasione di mandare attorno manoscritto, come si accennò, il suo lavoro tra gli amici e i discepoli ⁸¹⁷ . Per tale considerazione, e avuto anche in ciò riguardo alla brevità della scrittura, abbiamo stimato opportuno che delle varianti di qualche momento, offerteci dalle copie, si rendesse conto con molto maggior larghezza che certamente non converrebbe nelle opere di maggior mole, alle quali riserbiamo un apparato critico assai più limitato ⁸¹⁸ . Vi abbiamo unito, distinguendole con carattere tondo, alcune poche lezioni dall'Autore corrette posteriormente nell'autografo stesso. Adoperiamo, ad indicare i manoscritti, le seguenti sigle:

G = Esemplare autografo.

A = Bibl. Naz. di Firenze; Mss. Gal., Par. II, T. XVI, car. 56-58.

B = Bibl. predetta, Filza Rinucciniana 8. F. 2, esemplare anepigrafo.

C = Bibl. predetta: Coll. Gal., Div. IV, T. CX, car. 60-61. Di mano di Vincenzio Viviani.

D = Bibl. e Filza Rinucciniana predette, esemplare col titolo: «Uso e fabbrica della bilancia del Sig. Galileo Galilei».

E = Bibl. Naz. Marciana di Venezia, Cl. XI ital., n. CLXXXIV, car. 245-252.

Fra i quali esemplari, giovi avvertire che A e B differiscono pochissimo l'uno dall'altro e, meno assai che i rimanenti, da G; C se ne discosta invece più di tutti; D si avvicina in molte lezioni caratteristiche a C, ma altre volte va con A e B; e con quest'ultimi sta E, che presenta però assai spesso anche dei grossolani spropositi.

Abbiamo ancora tenuta presente l'edizione principe di questa scrittura, procurata da Giovanni Battista Hodierna, due anni dopo la morte dell'Autore ⁸¹⁹ . L'Hodierna non dice di qual manoscritto si giovasse nella sua stampa; la quale s'accosta talora a C, e talora ad A, B, presentando poi ed errori e concieri evidenti dell'editore. Questa edizione notiamo con F: indichiamo poi con Y il consenso delle copie tutte e di F.

Potemmo lasciar da banda la copia contenuta nel manoscritto matematico 158 della Biblioteca Civica di Amburgo (pag. 5-11) ⁸²⁰ , perchè sicuramente esemplata sull'edizione dell'Hodierna ⁸²¹ : e del pari non ci fu d'uopo tener conto delle edizioni posteriori; di cui quella di Bologna del 1656 ⁸²² è fatta sopra una copia che si allontana da B soltanto per differenze leggerissime e (tranne due luoghi che, sebbene assai sospetti, ⁸²³ abbiamo voluto recare) affatto trascurabili; quella di Firenze del 1718 ⁸²⁴ è una materiale ristampa di quella di Bologna; come, alla sua volta, la Padovana del 1744 ⁸²⁵ riproduce la Fiorentina; e sopra queste sono condotte le più recenti, dall'ultima in fuori, eseguita con la scorta dell'autografo.

Le copie, oltre che all'uopo sopra accennato, ci servirono a riempire alcune brevi lacune, che abbiamo indicato con parentesi quadra, presentate, per istrappi della carta, dall'autografo, e a correggere un passo che nell'autografo stesso rimase difettoso ⁸²⁶ . Su di esse poi abbiamo dovuto stabilire l'ultima parte della scrittura, che, dalla lin. 4 della pag. 220 in giù, manca in G: e a tale effetto preferimmo A e B, che in quel tratto sono identici, avendoli già riconosciuti, più degli altri esemplari, fedeli all'autografo.

Un nuovo ⁸²⁷ codice manoscritto contenente la scrittura di Galileo sulla Bilancetta è venuto a conoscenza del Favaro sulla fine del 1890, cioè subito dopo la pubblicazione di questo primo volume ⁸²⁸ . Si trova registrato nell'«Inventario dei Codici Italiani della Biblioteca Nazionale di Parigi» di G. Mazzatinti sotto il n. 448 (suppl. fr. 496; sec. XVII) col seguente titolo: «La bilancia sincera di Tito Livio Buratini con la quale per teorica e pratica con l'aiuto dell'acqua non solo si conosce le frodi dell'oro e degli altri metalli, ma ancora la bontà, di tutte le gioie o di tutti i liquori».

In questo codice si trova una lezione della Bilancetta di Galileo dalla quale è stata probabilmente copiata quella della Biblioteca Civica di Amburgo sopra citata, come risulta dalle notizie che ne dà lo stesso Burattini, che dice di averlo avuto in copia da Mons. Stanislao Pudlouski, amico di Galileo. Ambedue i codici, di Parigi o di Amburgo, debbono emanare dal Burattini, ed il primo, se veramente autografo, deve risalire all'anno 1645. Le conclusioni precedenti riguardo al codice amburghese e gli apprezzamenti intorno alle origini di esso, debbono quindi estendersi al codice parigino.

LA BILANCETTA ⁸²⁹ .

Sì come è assai noto a chi di leggere ⁸³⁰ gli antichi scrittori cura si prende, avere Archimede trovato ⁸³¹ il furto dell'orefice nella corona d'oro di Ierone, così parmi esser stato sin ora ignoto ⁸³² il modo che sì grand'uomo usar dovesse in tale ritrovamento: ⁸³³ atteso che il credere che procedesse, come da alcuni è scritto co 'l mettere tal corona, ⁸³⁴ dentro a l'aqqua, avendovi ⁸³⁵ , prima posto altrettanto di oro purissimo e di argento separati ⁸³⁶ , e che ⁸³⁷ , dalle differenze del far più o meno ricrescere ⁸³⁸ o traboccare ⁸³⁹ l'aqqua venisse in cognizione della mistione dell'oro con l'argento, di che tal corona era composta, par cosa, per così dirla, molto grossa e lontana ⁸⁴⁰ dall'esquisitezza; e vie più parrà a quelli che le sottilissime invenzioni di sì divino uomo ⁸⁴¹ tra le memorie di lui aranno lette ed intese, dalle ⁸⁴² quali pur troppo chiaramente si comprende ⁸⁴³ , quanto tutti gli altri ingegni a quello di Archimede siano inferiori, e quanta poca speranza possa restare a ⁸⁴⁴ qualsisia di mai poter ritrovare cose a quelle di esso simiglianti ⁸⁴⁵ . Ben crederò io che ⁸⁴⁶ , spargendosi la fama dell'aver Archimede ritrovato tal furto co 'l mezo ⁸⁴⁷ dell'aqqua, fosse poi da qualche scrittore di quei tempi lasciata memoria di tal fatto; e che il medesimo, per aggiugner qualche cosa ⁸⁴⁸ a quel poco che per fama avea inteso, dicesse Archimede essersi servito dell'aqqua nel modo che poi è stato dall'universal creduto ⁸⁴⁹ . Ma il conoscer io che tal modo era in tutto ⁸⁵⁰ fallace e privo di quella esattezza che si richiede nelle cose matematiche ⁸⁵¹ , mi ha più volte fatto pensare ⁸⁵² in qual maniera, co 'l mezo dell'aqqua, si potesse esquisitamente ritrovare la mistione di due metalli; e finalmente, dopo aver con diligenza riveduto ⁸⁵³ quello che Archimede dimostra nei suoi libri Delle cose che stanno nell'aqqua ed in quelli Delle cose che pesano ugualmente ⁸⁵⁴ , mi è venuto in mente un modo che esquisitissimamente ⁸⁵⁵ risolve il nostro quesito: il qual modo crederò io esser ⁸⁵⁶ l'istesso che usasse Archimede, atteso che, oltre all'esser esattissimo ⁸⁵⁷ , depende ancora da dimostrazioni ritrovate dal medesimo Archimede ⁸⁵⁸ .

Il modo è co 'l mezo di una bilancia, la cui fabbrica ed uso qui apresso sarà posto, dopo che si averà dichiarato ⁸⁵⁹ quanto a tale intelligenza è necessario. Devesi dunque prima sapere ⁸⁶⁰ , che i corpi solidi che ⁸⁶¹ nell'aqqua vanno al fondo, pesano meno ⁸⁶² nell'aqqua che nell'aria tanto, quant'è nell'aria ⁸⁶³ la gravità di tant'aqqua in mole quant'è esso solido: il che da Archimede è stato dimostrato ⁸⁶⁴ ; ma perchè la sua dimostrazione ⁸⁶⁵ è assai mediata, per non avere a procedere troppo in lungo ⁸⁶⁶ , lasciandola da parte, con altri mezi lo dichiarerò ⁸⁶⁷ . Consideriamo, dunque, che mettendo, per esempio, nell'aqqua una palla ⁸⁶⁸ di oro, se tal palla fosse di aqqua, non peserebbe nulla ⁸⁶⁹ , perchè l'aqqua nell'aqqua non si muove in giù o in su. Resta dunque che tal [palla] ⁸⁷⁰ di oro pesi nell'[aqqua] quel tanto ⁸⁷¹ , in che la gravità dell'oro supera la gravità dell'aqqua; ed il simile si deve intendere de gli altri metalli: e perchè i metalli son diversi ⁸⁷² tra di loro in gravità, secondo diverse proporzioni ⁸⁷³ scemerà la lor gravità ⁸⁷⁴ nell'aqqua. Come, per essempio, poniamo che l'oro pesi venti volte più dell'aqqua ⁸⁷⁵ ; è manifesto dalle cose dette, che l'oro peserà meno nell'aqqua che nell'aria la vigesima parte di tutta la sua gravità ⁸⁷⁶ : supponiamo ora che l'argento, per esser men grave dell'oro, pesi 12 volte ⁸⁷⁷ più che l'aqqua; questo, pesato nell'aqqua, scemerà in graveza per la duodecima parte ⁸⁷⁸ : adunque meno scema nell'aqqua la gravità dell'oro che quella dell'argento atteso che quella scema per un ventesimo ⁸⁷⁹ e questa per un duodecimo ⁸⁸⁰ . Se dunque in una bilancia esquisita noi appenderemo un metallo ⁸⁸¹ , e dall'altro braccio un contrapeso ⁸⁸² che pesi ugualmente co 'l detto metallo in aria ⁸⁸³ ; se poi ⁸⁸⁴ tufferemo il metallo nell'aqqua, lasciando il contrapeso in aria; acciò ⁸⁸⁵ detto contrapeso equivaglia al metallo ⁸⁸⁶ , bisognerà ritirarlo ⁸⁸⁷ verso il perpendicolo. Come, per essempio, sia la bilancia ab, il cui perpendicolo c; ed una massa di qualche metallo sia appesa in b, contrapesata dal peso d. Mettendo il peso b nell'aqqua, il peso d in a peserebbe più: però, acciò che pesasse ugualmente, bisognerebbe ritirarlo verso il perpendicolo c, come, v. g., in e; e quante volte la distanza ca ⁸⁸⁸ supererà la ae, tante volte il metallo peserà più che l'aqqua. Poniamo dunque ⁸⁸⁹ che il peso in b sia oro, e che pesato nell'aqqua torni il contrapeso d in e ⁸⁹⁰ ; e poi, facendo il medesimo dell'argento finissimo, che ⁸⁹¹ il suo contrapeso, quando si peserà poi nell'aqqua, torni in f: il qual punto sarà più vicino al punto c, sì come l'esperienza ⁸⁹² ne mostra, per esser l'argento men grave dell'oro; e la differenza che è dalla distanza af alla distanza ae sarà la medesima che la differenza tra la gravità dell'oro e quella de l'argento ⁸⁹³ . Ma se noi aremo ⁸⁹⁴ un misto di oro e di argento ⁸⁹⁵ , è chiaro che, per participare di argento ⁸⁹⁶ , peserà meno che l'oro puro ⁸⁹⁷ , e, per participar di oro, peserà più che il puro ⁸⁹⁸ argento: e però, pesato in aria ⁸⁹⁹ , e volendo che il medesimo contrapeso lo contrapesi ⁹⁰⁰ quando tal misto sarà tuffato nell'aqqua, sarà di mestiero ritirar detto contrapeso ⁹⁰¹ più verso il perpendicolo c che non è il punto e, il quale è il termine ⁹⁰² dell'oro, e medesimamente più lontano dal c che non è l'f, il quale è il termine dell'argento puro; però ⁹⁰³ cascherà tra i termini e, f, ⁹⁰⁴ e dalla proporzione nella quale verrà divisa ⁹⁰⁵ la distanza ef si averà esquisitamente la proporzione dei due metalli, che tal misto compongono. Come, per esempio, intendiamo ⁹⁰⁶ che il misto di oro ed argento sia in b, contrapesato in aria da d ⁹⁰⁷ ; il qual contrapeso ⁹⁰⁸ , quando il misto sia posto nell'aqqua, ritorni in g: dico ora che l'oro ⁹⁰⁹ e l'argento, che compongono tal misto ⁹¹⁰ , sono ⁹¹¹ tra di loro ⁹¹² nella medesima proporzione che le distanze fg, ge. Ma ci è da ⁹¹³ avvertire che la distanza gf, terminata nel segno dell'argento, ci denoterà ⁹¹⁴ la quantità dell'oro, e la distanza ge, terminata nel segno dell'oro, ci dimostrerà ⁹¹⁵ la quantità dell'argento ⁹¹⁶ : di maniera che se fg tornerà doppia di ge, il tal misto ⁹¹⁷ sarà due d'oro ⁹¹⁸ ed uno di argento. E col medesimo ordine procedendo nell'esamine di altri ⁹¹⁹ misti, si troverà esquisitamente la quantità dei semplici metalli.

Per fabricar ⁹²⁰ dunque la bilancia, piglisi un regolo lungo almeno ⁹²¹ due braccia, e quanto più sarà lungo più sarà esatto l'istrumento ⁹²² ; e dividasi nel mezo, dove si ponga il perpendicolo; poi si aggiustino le braccia che stiano nell'equilibrio ⁹²³ , con l'assottigliare quello che pesasse più; e sopra l'uno delle braccia ⁹²⁴ si notino i termini [dove] [ritor]nano i contrapesi de i metalli semplici quando saranno pesati ⁹²⁵ nell'aqqua, avvertendo di pesare i metalli più puri che si trovino ⁹²⁶ . Fatto che sarà questo, resta a ritrovar modo col quale si possa ⁹²⁷ con facilità aver la proporzione, [secondo la quale] le distanze ⁹²⁸ tra i termini de i metalli puri verra[nno] divise ⁹²⁹ da i segni de i misti. Il che, al mio giudizio ⁹³⁰ , si conseguirà in questo modo:

Sopra i termini ⁹³¹ de i metalli semplici avvolgasi un sol filo di corda di acciaio sottilissima ⁹³² ; ed intorno agli intervalli, che tra i termini rimangono, avvolgasi un filo di ottone pur sottilissimo; e verranno ⁹³³ tali distanze divise in molte particelle uguali ⁹³⁴ . Come, per essempio, sopra i termini e, f avvolgo 2 fili solo di acciaio (e questo ⁹³⁵ per distinguerli dall'ottone); e poi vo ⁹³⁶ riempiendo tutto lo spazio tra e, f con l'avvolgervi un filo ⁹³⁷ sottilissimo di ottone, il quale mi dividerà ⁹³⁸ lo spazio ef in molte particelle uguali ⁹³⁹ ; poi, quando io vorrò sapere ⁹⁴⁰ la proporzione che è tra fg e ge, conterò ⁹⁴¹ i fili fg ed i fili ge, e, trovando i fili fg esser 40 ed i ge esser, per essempio, 21, dirò nel misto esser 40 di oro ⁹⁴² e 21 di argento.

Ma qui è ⁹⁴³ da avvertire che nasce una difficultà nel contare: però che ⁹⁴⁴ , per essere quei fili sottilissimi, come si richiede all'esquisitezza, non è possibile con la vista numerarli, però che tra sì piccoli ⁹⁴⁵ spazii si abbaglia l'occhio. Adunque, per numerargli con facilità, piglisi uno stiletto acutissimo, col quale si vada adagio adagio discorrendo ⁹⁴⁶ sopra detti fili; chè così, parte mediante l'udito ⁹⁴⁷ , parte mediante il ritrovar ⁹⁴⁸ la mano ad ogni filo l'impedimento, verranno con facilità detti fili numerati ⁹⁴⁹ : dal numero de i quali, come ho detto di sopra, si averà l'esquisita quantità de i semplici ⁹⁵⁰ , de' quali è il misto composto ⁹⁵¹ . Avvertendo però ⁹⁵² , che i semplici risponderanno contrariamente alle distanze: come, per esempio, in un misto d'oro e d'argento, i fili che saranno verso il termine ⁹⁵³ dell'argento ci daranno la quantità dell'oro, e quelli che saranno verso 'l termine dell'oro ci dimostreranno la quantità dell'argento ⁹⁵⁴ ; ed il medesimo intendasi degli altri misti ⁹⁵⁵ .

TAVOLA

DELLE PROPORZIONI DELLE GRAVITÀ IN SPECIE

DE I METALLI E DELLE GIOIE

PESATE IN ARIA ED IN AQQUA

Se, conformemente al disegno nostro, nel riprodurre la Bilancetta noi abbiamo stimato opportuno di liberarla da quelle scritture che nelle precedenti edizioni le erano state aggiunte, intendiamo, invece, di renderla così completa come ci pare dovesse essere nella mente dell'Autore, col farle seguire la «Tavola delle Proporzioni delle gravità in specie de i metalli e delle gioie pesate in aria ed in aqqua», che nella Collezione Galileiana viene dopo la Bilancetta stessa (P. II, T. XVI, car. 60-62), e che, essa pure, è autografa di Galileo ⁹⁵⁶ .

Questa, o, se piace meglio, queste Tavole (poichè la «Tavola» consta di due parti ⁹⁵⁷ , la seconda delle quali, molto più copiosa, comprende tutti i metalli e le gioie saggiati nella prima), dai nostri predecessori erano state trascurate: e noi le aggiungiamo anche perchè incoraggiati a farlo da un suggerimento di Vincenzio Viviani; il quale, tra gli appunti per la edizione delle opere del suo Maestro, ch'egli si proponeva di curare, lasciò notato che alla «fabbrica della Bilancia per venire in cognizione delle gravità in specie de' metalli e delle quantità de' misti» doveva aggiungersi «una tavoletta in numeri delle gravità in specie de' medesimi metalli» ⁹⁵⁸ . Gli elementi di tale tavoletta noi teniamo che, almeno in parte, dovessero essere forniti da quella che pubblichiamo qui appresso.

Nel riprodurla sopra l'autografo abbiamo, quanto alla grafia, seguito i criteri e introdotto le modificazioni medesime accennate nell'Avvertimento alla Bilancetta. Qualche materiale trascorso di penna dell'Autore, e qualche lezione da lui stesso posteriormente corretta, abbiamo indicato a piè di pagina.

TAVOLA

DELLE PROPORZIONI DELLE GRAVITÀ IN SPECIE

DE I METALLI E DELLE GIOIE

PESATE ⁹⁵⁹ IN ARIA ED IN AQQUA

Oro puro in aria pesò	grani 156 1/4	100	1000	576
pesò poi in aqqua	grani 148 1/4	94 22/25	948 4/5	546 1/2
Argento puro in aria pesò	grani 179 1/4	100	576
pesò poi in aqqua	grani 162	90 270/717	520 57/100
altra d'argento più fine	{	576 520 95/100
Rame in aria	grani 179 9/16	576	576
in aqqua	grani 159	510 4/100	510 36/100
Diamante pesò in aria	grani 48 1/6	576
in aqqua	grani 34 19/32	413 68/100
Rubini 3 in aria	grani 16 9/16	576
in aqqua	grani 12 7/16	432 54/100
Smeraldo in aria	grani 133 7/32	576
in aqqua	grani 84 5/32	340 42/100
Topazio in aria	grani 381 1/4	576
in aqqua	grani 242 1/2	366 37/100
Zaffiri n.° 2 in aria	grani 10 ½	576
in aqqua	grani 7 9/16	414 86/100

____________

Oro puro in aria	grani 156 1/41/2	100	1000	576
Oro in aqqua	grani 148 1/4	94 22/25	948 4/5	546 ½
Oro d'ungaro	{	aria aqqua	grani 576 grani 545 18/100
Argento puro in aria	grani 179 1/4	100		576
torna in aqqua	grani 162	90 270/717	520 34/60 57/100
Argento di Testoni	{	aria aqqua	grani 576 grani 520 48/60
Diamante in aria	grani 48 1/6	576
in aqqua	grani 34 19/32	413 41/60
Smeraldo in aria	grani 133 7/32	576
in aqqua	grani 84 5/32	340 25/60
Topazio in aria	grani 210 11/32	576
in aqqua	grani 131 6/32	359 24/100
Crisolito in aria	grani 310 6/32	576
in aqqua	grani 217 7/8	404 60/100
Crisolito in aria	grani 68 9/16	576
in aqqua	grani 40 15/16	343 92/100
Topazio in aria	grani 381 1/4	576
in aqqua	grani 242 1/2	366 37/100
Zaffiro in aria	grani 5 3/4	576
in aqqua	grani 4 1/4	421 39/100
Rubini in aria	grani 16 9/16	576
in aqqua	grani 12 7/16	432 54/100
altro rubino in aria	grani 49 1/10
in aqqua	grani 35 5/16
Zaffiri n.° 2 in aria	grani 10 1/2	576
in aqqua	grani 7 9/16	414 86/100
Turchina in aria	grani 36 3/4	576
in aqqua	grani 23 5/16	365 66/100
altra turchina in aria	grani 22 13/16	576
in aqqua	grani 14 9/16	367
Perla in aria	grani 91 7/8	576
in aqqua	grani 56 3/8	353 44/100
altra perla in aria	grani 29 1/8
in aqqua	grani 19
Granata in aria	grani 89 37/48
in aqqua	grani 64 7/8
Granata in aria	grani 224 1/2
in aqqua	grani 168 1/8
Zaffiro in aria	grani 103 3/8
in aqqua	grani 63 1/4
Calcidonio in aria	grani 61 9/16
in aqqua	grani 37 15/16
Smeraldo in aria	grani 192 1/4
in aqqua	grani 129 5/8
Crisolito 960 in aria	grani 102 5/8
in aqqua	grani 72 3/16
Amatista in aria	grani 102 13/16
in aqqua	grani 56 13/16
Acqua marina tenera	65 4/16
in aqqua	41 5/16
Cristallo in aria	grani 229 3/4
in aqqua	143 1/4
Rame in aria	grani 380 1/2	576
in aqqua	grani 337	510 15/100
Rame in aria	grani 179 9/16	576
in aqqua	grani 159	510 4/100
altra esperienza		576
		510 75/100

POSTILLE AI LIBRI

DE SPHAERA ET CYLINDRO

DI ARCHIMEDE

AVVERTIMENTO

A quell'ordine di studi giovanili, al quale si è accennato nell'Avvertimento alla Bilancetta, appartengono alcune postille di Galileo all'opera di Archimede De sphaera et cylindro, da noi rinvenute nella Collezione Galileiana (Div. IV, T. CXLV, car. 189-194) della Biblioteca Nazionale di Firenze, e date or non ha molto alla luce ⁹⁶¹ . La copia che ci pervenne la mandava da Roma Vincenzio Santini a Vincenzio Viviani con lettera de' 27 settembre 1671 (Coll. Gal. Div. IV, T. CXLV, car. 188); e molto probabilmente il Santini aveva avuto tali postille coi libri del P. Famiano Michelini, del quale era stato discepolo ed erede. Il Viviani poi, alla sua volta, le trascriveva sui margini di un esemplare dell'edizione d'Archimede (testo greco e versione latina) impressa a Basilea nel 1544 ⁹⁶² ; sulla parte latina della quale edizione, come dalle citazioni manifestamente apparisce erano state fatte da Galileo. L'esemplare così annotato di mano del Viviani, il quale anche altre volte serbò copia in tal modo di postille del suo Maestro, è ora nella Biblioteca Nazionale di Firenze con la segnatura «V. 1. 104» ⁹⁶³ .

Queste postille noi riproduciamo nell'ordine stesso col quale furono registrate dal Santini, che così ne scrive al Viviani: «Trovai quel pezzo di Archimede de sphaera et cylindro notato in margine di postille, come Lei medesima in Fiorenza mi disse, dal sig. Galileo; le quali non so se haverò copiate esattamente, per essere e stracciate e macchiate le carte: e queste sono nella colonna intitolata A. Ho copiato parimente alcuni versi dello stampato, segnati per di sotto con tirate di penna o con semplice chiamata dove corrisponde la riflessione fattavi in margine; e detti versi sono nella colonna del B» ⁹⁶⁴ . Anche noi dunque abbiamo distinto con A la colonna delle postille e con B quella dei passi di Archimede: abbiamo indicato in corsivo le parole su cui cade più specialmente la osservazione, e, rarissime volte, reso più compiuta, in servigio della chiarezza, la citazione del testo, dal Santini appena accennata. La copia poi di pugno del Viviani ci suggerì quasi sempre la correzione dei gravi errori ne' quali il Santini, per guasti, com'egli stesso confessa, dell'originale, era caduto assai sovente ⁹⁶⁵ Delle correzioni introdotte (tranne le ortografiche) e d'alcune altre varietà che presenta l'esemplare Viviani, ma nelle quali non ci parve necessario il seguirlo, è reso conto a piè di pagina, dove con le iniziali S e F sono indicate respettivamente le copie Santini e Viviani.

A	B
Postille	Citazioni delle Postille
Del libro primo De sphera et cylindro di Archimede. Pag. 2, versi 21.
Verba lineata superflua esse videntur; nisi forte intelligatur 966 ut in hac figura: Pag. 6, versi 29.	vel alterae earum ab alterius superficie et recta, eosdem cum illa terminos habente, contineatur
Cum Pag. 6, versi 31. Circumscripta enim minorem habet rationem ad circulum, quam ad inscriptam. Pag. 7, versi 26.	Si enim circumscriptae
fh. Pag. 7, versi 38.	eh perpendicularem
triangulorum. Pag. 11, versi 26.	duplus habeatur triangulus
At spacium g non est minus 967 sectionibus dictis. Pag. 13, versi 51.	una cum g spacio. Reliquum est igitur
Hic supponitur circulus a esse, cuius diameter cd. Pag. 15, versi 13.	deinde circa circulum a circumscribatur rectilinea
Pro verbis lineatis est tantum legendum 968 : superficies cylindri (meo tamen iudicio). Non enim congrue colligetur consequentia, si dicamus: Superficies circa b ad figuram intra b minorem habet proportionem quam superficies circa cylindrum ad circulum b; ergo superficies circa cylindrum ad figuram intra b minorem proportionem habet, quam superficies cylindri ad circulum b. Sed bene concludetur, si dicatur: Superficies circa b ex positione habet ad superficiem intra b minorem proportionem, quam superficies cylindri ad circulum b; ideo superficies circa cylindrum (quae demonstrata est 969 aequalis superficiei circa circulum) ad superficiem intra b 970 minorem habebit rationem 971 , quam superficies cylindri ad circulum b. Pag. 15, versi 35.	quam habeat superficies rectilinea circa cylindrum aptata
in circulis ab. Pag. 15, versi 41.	in circulo ab
circulo b inscriptam. Pag. 15, versi 45.	quare et eadem minorem esse oportet
Hoc patet 972 : si enim prima ad secundam minorem habeat proportionem 973 quam 3a ad 4a m et sit prima maior 2a, erit necessario 3a maior 4a. Pag. 16, versi 25.	Maior igitur est figura rectilinea circulo b inscripta, quam sit cylindri superficies etc.
potentia Pag. 17, versi 16 in circa. Sit enim triangulus abc, rectum angulum habens ad b, intra quem ducta sit recta ad 974 : dico, bc ad da 975 maiorem habere rationem quam bd ad da. Ducatur enim de aequidistans ipsi ac. Erit ut bc ad ca, ita bd ad de: et est da maior ipsa de, cum dea angulus sit obtusus: constat ergo propositum. Pag. 18, versi 11	ad semidiametrum e , eandem etc.
Hoc autem sic patebit. Quoniam ut ba ad ag ita db ad df, erit contentum sub ba, df aequale contento sub db, ag: at contento sub ab, df aequantur contenta sub ad, df, et sub db, df: contentum ergo sub bd, ag aequatur contentis sub ad, df, et sub bd, df. Ponatur commune contentum sub ad, ag. Contenta sub bd, ag, da, ag, hoc est 976 contentum sub ba, ag, aequantur 977 contentis sub bd, df, ad, df, da, ag: contentis autem sub ad, df, da, ag aequatur contentum sub ad et composita ex ag, df: contenta igitur sub bd, df, et sub ad et composita ex ag, df aequantur 978 contento sub ba, ag. Pag. 25, versi 3.	Et quoniam id quod ex ab in ag fit, aequatur his: ei quod fit ex bd in df,et ei quod fit ex ad in utramque df et ag etc.
Hoc ita esse, necessarium est; ad hoc ut inscripta figura ex conis duobus et 979 ex conorum segmentis constet. Pag. 27, versi 8. Ex 20 huius: si enim intelligas eductas 980 gf, mn concurrere, habebis rombum constare 981 ex conis; quorum bases est circulus circa mg, alterius autem vertex erit x 982 , alterius autem punctum extra circulum, in quo convenerint gf, mn eductae. Pag. 33, versi 26	cuius multitudo laterum numeretur a quaternario etc.
maior Pag. 35, versi 25. Ex 22 huius: est enim ut le ad eh; ita omnes ef, cd, ah ad ipsam hk. Pag. 35, versi 28.	k vero ad g est ea quam
lh. Pag. 35, versi 31.	contento sub ah
quae dimidia sphaera sit minor Pag. 37, versi 12.	sphaerae inscripta quae conicis etc.
recto angulo 983 Pag. 37, versi 13.	nam subtenditur rectae etc.
Nempe in 16 huius. Nam superficies sub fm, ng contenta (si ducta fuerit recta mn) aequatur circulo cuius semidiameter possit contentum sub fm et dimidiis mn, fg; superficies vero sub ma, nb compraehensa aequatur circulo cuius semidiameter possit contentum sub am et dimidiis 984 mn, ab: hoc autem minus est contento sub fm et sub dimidiis 985 mn, fg: quare etc. Pag. 39, versi 50. Nam, permutando, circumscriptae superficies ad circulum f minorem habebit proportionem quam superficies inscriptae ad portionis superficiem; quod est absurdum. Nam circumscriptae superficies maior est circulo; inscriptae vero superficies minor est superficie portionis. Pag. 43, versi 11.	Nam haec sunt in his, quae sumpta fuerunt, demonstrata
Est enim ut ca ad ab, ita ab ad ae; hoc est ut ca quadratum ad quadratum ab, hoc est ut quadratum cb ad quadratum be, ita ca ad ae. Pag. 44, versi 3.	hoc est quadratum cb ad quadratum be.
Hic videntur desiderari nonnulla verba, qualia essent: Quare kbhf pars coni aequatur cono n, hoc 986 est frustro solido bafh, posito communi bhf cono, totus conus bkf aequabitur portioni baf. Pag. 45, versi 22.	circa bf diametrum constitutum
ita ut bc ad ca sit sicut f ad g Pag. 46, versi 13.	ad punctum c
Est enim sicut kb ad br, ita dx ad xb: et dx maior ponitur ipsa xb: quare kr maior erit br. Pag. 51, versi 17.	Quod autem f extra r cadet, manifestum est
Verba lineata superflua videntur esse: nam absque illis, dividendo et permutando, patet propositum 987 . Pag. 51, versi 21.	sicut autem utraque simul eb, bf ad bf,sic fg ad fd.
et, permutando, Pag. 51, versi 23.	sic gf ad fg sicut etc.
☉ Habet enim hk ad kf minorem proportionem 988 quam ad kb; quare et componendo 989 . Pag. 51, versi 30.	ergo hb ad bk,sic kf ad fg. Et quoniam hf ad fk minorem proportionem habet, quam hb ad bk etc.
Ostensum enim est, ut kf ad fg ita esse bf ad fd, hoc est ba ad ad, et superficies ad superficiem; ut autem hf ad fg, ita portio maior ad minorem. Pag. 51, versi 31.	Hoc autem quod quaerebamus
Hoc autem sic patebit. Cum enim bn sit aequale contento sub hb, be, erit ut hb ad nb, ita bn ad be, hoc est ad bk: et ut prima hb ad 3a m bk 990 , ita secundaenb ad 3ae bk, vel ut nb ad bk, ita hn ad nk. Cum enim sit ut hb ad bn, ita nb ad bk erit et ut unum 991 nb ad unum bk, ita omnia ad omnia 992 ; nempe hn ad nk. Quare, et ut quadratum nb ad bk, hoc est ut hb ad bk, ita hn ad nk. Pag. 52, versi 1.	Est igitur sicut hb ad bk, sic quadratum hn ad quadratum nk.
ut superius ostensum est in signo 993 ☉. Si enim primae ad secundae proportionem habeat maiorem quam sit proportio 994 2ae ad 3a m, proportio primae ad 3a m erit maior quam sesquialtera proportionis 2ae ad 3a m. Habeat enim hf ad fk maiorem rationem quam fk ad fg: quam ergo rationem habet fk ad fg, hanc 995 habebit minus ipso hf ad fk. Habeat xf, et sumatur inter fk, fg media o: erit ergo ut fk ad fg, ita fk ad o, et o ad fg, et xf ad fk. Sunt ergo a xf, fk, o, fg proportionalia; quare et lineae. Habet ergo fx ad fg triplicatam rationem quam o ad fg: fh autem ad fg eiusdem duplam obtinet: quare xf ad fg sesquialteram rationem habet illius quam habet fk ad fg. Habet autem hf ad fg maiorem rationem quam xf ad fg: ergo proportio hf ad fg maior est quam sesquialtera proportionis fk ad eandem fg. Pag. 52, versi 26.	idem est quam kf ad fg.
Est enim sicut ec cum ch 996 ad ch; ut ex progressu septimae huius patet 997 Pag. 52, versi 33.	Sed proportio bad portionis ad bad conum est sicut gh ad hc.
Hoc est idem quod solidum, basim habens rectangulum gha, altitudinem autem ha. Pag. 52, versi 37.	quae est eius quod fit ex gh in quadratum ha etc.
☉ Non colligit conclusionem, quae talis erit: Sed id quod fit ex quadrato ah in hg ad id quod fit ex quadrato hc in hf est sicut portio sphaerae maior ad minorem: ergo portio maior ad minorem, minorem habet proportionem quam ah ad hc; et proportio quadrati ah ad quadratum hc dupla est eius quae est quadrati ab ad quadratum bc, hoc est superficiei portionis bad ad superficiem portionis bcd. Cubus enim ad cubum triplicatam 998 habet proportionem ab ad bc; superficies vero ad superficiem eandem habet duplicatam. Pag. 52, versi 45.	quam proportio quadrati ah ad quadratum hc.
Proportio enim quadrati ah ad rectangulum bhc componitur ex proportione ah ad hb, et ex proportione ah ad hc, hoc est quadrati ah ad quadratum hb. Pag. 53, versi 2.	Proportio autem quadrati ah ad quadratum hb,assumens simul proportionem ah ad hb,est sicut quadrati ah ad id quod fit exch in hb.
Si enim quod fit ab extremis minus sit eo quod ex mediis producitur, tunc prima ad 2a m minorem habebit proportionem 999 quam 3a ad 4a m. Pag. 53, versi 11.	quod idem est ac si demonstremus, quod quadratum hc ad id quod sub bh, hc continetur, minorem habet proportionem quam gh ad hf.☉
☉ Si enim reliquum ad reliquum maiorem habet proportionem 1000 quam ablatum ad ablatum, et totum ad totum maiorem proportionem habuit quam ablatum ad ablatum. Pag. 53, versi 50.	hoc est le ad ha ☉
Hic desiderantur haec verba: Sit igitur ab potentia dupla ipsius ar. Pag. 54, versi 10.	quam dupla in potentia
Quadrato 1001 enim ab aequatur contentum sub ca, ak, cuius dimidium est contentum sub cx, ak, cum cx aequetur dimidiae ca. Pag. 54, versi 13.	nam dimidium est quadrati ab
Positum est enim, ut xc ad ck ita ma ad ak. Quare, componendo, patet propositum 1002 . Pag. 54 al fine del Libro secondo. Similiter in portione minori hemisphaerio demonstrabitur 1003 , fh ad bd 1004 maiorem rationem 1005 habere quam mk ad nl; hoc est, fl ad bk maiorem rationem habere quam mk ad nl; hoc idem est, fe, idest ba 1006 , ad bk maiorem rationem 1007 habere quam mk ad el, hoc est ad ar. Est autem ut ab ad bk, ita ac ad ck. Ostendendum ergo est, quod ac ad ck maiorem rationem habet quam mk ad ar; hoc est, quod contentum sub cr, ra maius 1008 est contento sub ck, mk, hoc est sub xk, ka; hoc est, quod contentum sub cr, ra, una cum quadrato ra, maius est contento sub ck, ka, una cum contento sub xc, ka. Verum ra aequatur contento sub xc, ka. Demonstrandum ergo est, contentum sub cr, ra maius esse contento sub ck, ka.	Et vero quod continetur sub xk ka,aequatur id quod continetur sub mk, kc.

DE MOTU

AVVERTIMENTO

Già Vincenzio Viviani, in certi commentari concernenti le Opere del suo Maestro, accennò «ad un manoscritto del Galileo in più quinternetti in ottavo intitolato fuori sulla coperta De motu antiquiora, il quale si riconosce esser de' primi giovenili studi di lui, e per i quali nondimeno si vede, che fin da quel tempo non sapev'egli accomodare 'l libero 'ntelletto suo all'obbligato filosofare della comune delle scuole». E soggiunge subito: «Quello però di più singolare, che è sparso in tal manoscritto, tutto, come si vede, l'incastrò poi egli stesso opportunamente, a' suo' luoghi, nell'opere che egli stampò ¹⁰⁰⁹ . Di «alcuni studi fatti dal Fiorentino Filosofo in sua gioventù, e da esso trascritti in diversi quinterni, sopra uno de' quali vedesi segnato De motu antiquorum etc.» tocca anche il Nelli, affermando che l'autografo ne era da lui posseduto ¹⁰¹⁰ : ed infatti esso è registrato fra i manoscritti della sua libreria ¹⁰¹¹ ; e lo vide anche il Venturi, il quale ammesso a cercare nelle Carte galileiane della privata biblioteca del Granduca di Toscana, delle quali la parte principale era appunto costituita dai manoscritti già appartenuti al Nelli, vi rinvenne «vari trattati latini sopra il moto, scritti dal Galileo intorno al 1590, i quali mostrano ch'egli sin d'allora discordava dalla dottrina di Aristotele ¹⁰¹² »

Secondo l'ordine dato ai Manoscritti Galileiani fin da quando vennero raccolti nella Biblioteca Palatina di Firenze, non ve n'ha alcuno il quale porti il titolo De motu antiquiora, riferito dal Viviani, nè l'altro, evidentemente scorretto, dato dal Nelli: ed è probabile che la carta che lo conteneva sia stata strappata nell'occasione di quell'ordinamento, per effetto del quale, come noi crediamo, gli accennati quaderni non vennero più tenuti insieme; poichè uno di essi è unito ora, nel Tomo I della Parte III, con gli studi giovanili di cose astronomiche, od almeno come tali considerate dall'ordinatore, gli altri si trovano nel Tomo I della Parte V.

Tutte queste scritture sono autografe; e le più non furono per anco pubblicate nelle edizioni delle Opere di Galileo ¹⁰¹³ .

Venendo ora ad esaminare la sostanza di questi studi, ai quali abbiamo voluto conservare almeno in parte il titolo primitivo, ci sembra di poter dire che in essi sono contenute in germe, e talvolta espressamente significate, le mirabili scoperte che posero poi l'Autore loro tanto sopra agli altri filosofi contemporanei, e mostrano in fiore i frutti allegati più tardi nei Dialoghi delle Nuove Scienze.

E quanto all'aspetto sotto il quale tali studi si presentano, ci pare che possano distinguersi in tre diverse categorie. La prima, costituita da quasi tutte le cose relative al moto contenute nel Tomo I della Parte III, ci offre alcune considerazioni sotto forma di appunti staccati, quasi note di un lettore o riflessioni di un pensatore; e lo stesso loro aspetto materiale ci sembra confortare il nostro giudizio. Questo codice contiene fino alla car. 100 li Iuvenilia e, a partire dalla car. 102, una serie di vocaboli latini col corrispondente italiano, la quale tuttavia occupa soltanto i principii di alcune pagine, mentre sulle parti rimaste bianche sono scritti i detti appunti sul moto. Quei vocaboli latini non sono però di pugno di Galileo, come non sono di sua mano alcuni esercizi di scrittura e di stile epistolare che si trovano nelle ultime pagine del codice; per la qual cosa sembrerebbe quasi potersi argomentare, che di questo libretto, il quale forse sarà stato già adoperato dal fratel suo, si servisse il giovane filosofo come d'uno scartafaccio cui consegnava i suoi pensieri, via via che gli venivano nella mente o gli erano suggeriti dalle letture che andava facendo. La seconda e la terza categoria sono costituite da quanto si legge nel Tomo I della Parte V ¹⁰¹⁴ : quella è rappresentata da diversi capitoli, nei quali si concretano alcuni principii intorno alle cause ed alle leggi del moto; questa contiene buon numero delle più notevoli questioni concernenti lo stesso argomento, esposte sotto forma di dialogo. E tale, meno qualche eccezione, di cui terremo fra poco parola, deve anche essere stata la natural genesi di cosiffatti studi nella mente di Galileo. Egli stesso, senza dubbio alcuno, pensò a dare a queste sue scritture un ordinamento logico; e forse non ne abbandonò del tutto il pensiero, se non quando, riprendendole in mano dopo molti e molti anni, d'una parte di esse volle profittare, inserendola quasi testualmente nei Dialoghi delle Nuove Scienze. Di una divisione in capitoli è tuttora evidente la traccia, tanto nelle intestazioni delle singole parti, quanto nel corpo di queste, le quali talvolta trovansi richiamate dall'una all'altra; ma disgraziatamente siffatti richiami non sono completi, nè sempre rigorosamente coordinati, ed anzi in qualche circostanza inducono a dubitare che tutto quanto Galileo dettò intorno a questo argomento non sia fino a noi pervenuto. Or dunque, accingendoci noi a procurare per la prima volta una edizione completa di tutto ciò che rimane di tali scritture, avevamo dapprima pensato ad una distribuzione della materia in vari libri, secondo la quale avremmo cercato, entrando nell'intenzione dell'Autore per quanto era permesso divinarla, di dar forma organica a quello che apparentemente ha soltanto un aspetto frammentario; ma ne abbiamo dismesso il pensiero, perchè la divisione in libri, facendo pensare ad una successione di argomenti trattati, non ci parve che si adattasse al caso nostro, nel quale abbiamo piuttosto un solo argomento in una serie di elaborazioni succedutesi l'una all'altra a non grande distanza di tempo.

E per ciò che concerne il Tomo I della Parte V, dopo mature considerazioni desunte dalla essenza delle scritture, dalla forma nella quale sono distese, da alcuni segni di richiamo che vi si riscontrano, e dalle tracce di una antica e originale numerazione delle carte del codice, noi siamo stati indotti a considerare come un primo getto ciò che si legge nelle car. 61r.-124v. (pag. 251-340): ed i vari capitoli in queste compresi abbiamo determinato di dare secondo l'ordine col quale il manoscritto li presenta. Per verità, ciò che si legge a car. 77r.-78v. (pag. 274-276) avrebbe potuto essere tralasciato senza danno sensibile per la continuità della trattazione, poichè non vi si rinvengono se non ripetuti richiami al contenuto del lungo capitolo che lo precede a car. 68v.-76r. (pag. 262-273); se noi non ci fossimo prefissa la massima indeclinabile che nulla sia trascurato di quanto i codici conservano di Galileo. In ciò che si legge a car. 133r.-134v. (pag. 341-343), seguendo i medesimi criteri, ci parve di poter riconoscere una seconda o posteriore lezione dei due capitoli iniziali della prima parte; nelle car. 43r.-60r. (pag. 344-366), una terza trattazione delle dottrine esposte a car. 61r.-62v. (pag. 251-253) e, con notevoli omissioni ed aggiunte, seconda di ciò che si legge a car. 62v.-66v. e 85r. (pag. 253-260) e a car. 88v.-92r. (pag. 289-294). Al quale proposito, stimiamo opportuno di avvertire che a car. 49v.-60r. (pag. 352-366) i problemi sono in parte trattati ed ordinati altrimenti che nella prima lezione. Corrispondono tuttavia le car. 43r.-60r. (pag. 344-366) alle 61r.-66v. e 85r. (pag. 251-260) e alle 88v.-92r. (pag. 289-294), in quanto e nelle une e nelle altre non è ancora questione delle variazioni di velocità. In particolare poi il capitolo a car. 88v.-92r. apparisce di molto migliorato nella nuova lezione che se ne ha a car. 51v.-56r. (pag. 355-361).

A queste scritture abbiamo fatto seguire (pag. 367-408) la lezione dialogizzata (Par. V, T. I, car. 4r.-3v.), nella quale credemmo opportuno d'inserire pure un brano, egualmente dialogizzato (pag. 375, lin. 10 - pag. 378, lin. 3), che rinvenimmo nel Tomo I della Parte III (car. 102r.-104v.).

Nel dialogo sono interlocutori un «Alexander» ed un «Dominicus»; rispetto ai quali suppose il Nelli ¹⁰¹⁵ che Galileo abbia voluto porre in iscena Iacopo Mazzoni e Luca Valerio, ch'egli ebbe a compagni in Pisa nel tempo a cui risale la composizione di queste scritture. Del «Dominicus» nulla sappiamo; ma certamente «Alexander» altri non è che Galileo stesso, poichè in certo luogo Alessandro parla della bilancetta come d'uno strumento da lui inventato (pag. 379), ed ancora servendosi di termini da Galileo stesso adoperati nella relativa scrittura.

Abbiamo posto alla fine gli appunti scuciti concernenti l'argomento di queste scritture, i quali rinvenimmo nel Tomo I della Parte III a car. 102r., 104v.-110r. (pag. 409-417) e nel I della V a car. 3v. (pag. 418-419): e ciò anche perchè non è del tutto senza fondamento il pensare che, almeno alcuni, si riferiscano o a lezioni ulteriori in ordine di tempo o a successive parti di quelle prime delle quali si è già tenuto parola.

Nell'edizione poi di tutti questi scritti abbiamo sempre voluto attenerci con la maggior fedeltà all'autografo. Le aggiunte e postille marginali furono inserite al loro luogo nel testo, pure avvertendone il lettore, allorchè vi erano da qualche segno richiamate; poste in nota, quando di richiamo non trovammo traccia. Non ci parve poi opportuno trascurare nemmeno alcuni passi che l'Autore cancellò sostituendovene altri; come quelli che, in certi particolari, talora di poca, talora di maggiore, importanza, ci mostrano anch'essi il lavoro successivo di elaborazione, e del pensiero e della forma, adoperato da Galileo intorno a questa sua opera. Riferimmo i tratti cancellati, che erano di qualche estensione, in note speciali: dove invece, e così è le più volte, la correzione risguarda soltanto qualche parola, registrammo la frase cancellata a piè di pagina, insieme con gli errori manifesti dell'autografo che, come sempre, credemmo dover emendare nel testo, rendendone però conto esattissimo. E gli errori sono pur troppo frequenti, più che non si crederebbe, per certo trascorrere della penna del grand'uomo ad assimilazioni o attrazioni, che dir si vogliano, di desinenza, o a costrutti viziosamente anacolutici. Tali errori notiamo in carattere corsivo; laddove le cassature del manoscritto sono indicate in carattere tondo, precedute e seguite dalle parole del testo (e queste in corsivo) in mezzo alle quali vengono a cadere, ancorachè non abbiano sempre relazione sintattica con esse.

Ad eccezione di un capitolo che fu steso parecchi anni più tardi, e che perciò sarà da noi dato al luogo che gli spetta nell'ordine cronologico, tutti gli studi intorno al moto, contenuti nel Tomo I della Parte V e nel I della III, appartengono al tempo in cui Galileo insegnò nello Studio di Pisa; e quando pur ne mancassero altri documenti, basterebbero a farlo presumere i ripetuti accenni alle celebri esperienze ch'egli eseguì dalla Torre di Pisa intorno alla caduta dei gravi, e, più ancora, la scena del dialogo, che è a Bocca d'Arno. E probabilmente con le lezioni di Galileo a Pisa si riconnettono pure alcuni commentari sopra l'Almagesto di Tolomeo, ch'egli accenna in queste scritture (pag. 314) di aver già composti e d'esser tra breve per pubblicare; ma de' quali ad ogni modo nulla è pervenuto fino a noi.

Lationem omnem naturalem, sive deorsum sive sursum illa sit, a propria mobilis gravitate vel levitate fieri, inferius explicaturi, rationi consentaneum duximus, ut quomodo quid alio levius vel gravius vel aeque grave dicendum sit, in medium afferremus. Est autem hoc determinare necessarium: saepius enim accidit ut, quae leviora sunt, graviora nuncupentur, et e converso. Dicimus enim interdum, magnum lignum parvo plumbo gravius esse, cum tamen plumbum ligno, simpliciter, gravius existat; et magnum plumbi frustrum pauco plumbo gravius dicimus, cum tamen plumbum plumbo gravius non sit ¹⁰¹⁶ . Quapropter, ut huiusmodi captiones aufugiamus, ea dicenda erunt inter se aeque gravia, quae, cum fuerint aequalia in mole, erunt etiam aequalia in gravitate: unde si accipiamus duo plumbi frustra, quae aequalia sint in mole, in gravitate quoque congruentia, ista vere dicenda erunt aeque ponderare. Unde manifestum est, quod lignum non est dicendum aeque grave ac plumbum: frustrum enim ligni, quod cum plumbi frustro aequeponderet, longe plumbeum frustrum in mole excedet. Deinde, illud alio gravius est nuncupandum, cuius accepta moles, alterius moli aequalis, gravior altera comperiatur: ut, verbigratia, si ex plumbo et ligno moles duas accipiamus quae inter se aequales sint, moles deinde plumbi gravior sit mole ipsius ligni, tunc certe plumbum gravius esse ligno, merito asseremus. Quare, si ligni frustrum, quod cum frustro plumbi aequeponderet, inveniamus, non certe lignum aeque grave ac plumbum est censendum; inveniemus enim, plumbi molem longe a ligni mole excedi. Converso demum modo de levioribus est statuendum: illud nanque levius est censendum, cuius pars accepta, alterius parti in mole aequalis, in gravitate minor esse invenietur; ut, si partes duas, alteram quidem ligni, alteram vero plumbi, accipiamus, quae in mole aequales sint, minus autem gravet lignea quam plumbea, tunc merito lignum plumbo levius esse, est statuendum.

Gravia in inferiori loco, levia vero in sublimi,

a natura constituta esse, et cur.

Cum ea quae naturaliter moventur, ad propria loca moveantur, et cum quae moventur aut gravia sint aut levia, videndum est, quaenam gravium loca, quae vero levium, existant, et cur. Gravium itaque loca esse illa quae mundi centro magis accedunt, levium vero quae magis distant, sensu quidem quotidie intuemur; quare talia determinata loca illis a natura praescripta esse, non est quod dubitemus: sed in dubio quidem revocari potest, cur talem ordinem in distribuendis locis prudens natura servaverit, non autem praeposterum. Huius distributionis non alia, quod legerim, a philosophis affertur causa, nisi quod in aliquem ordinem erant cuncta disponenda, placuit autem Summae Providentiae in hunc distribuere; et hanc quoque causam videtur afferre Aristoteles, 8 Phys. T. 32, dum, quaerens cur gravia et levia ad propria loca moveantur, subdit, causam esse quia habent a natura ut sint apta ferri aliquo, et hoc leve quidem sursum, grave autem deorsum ¹⁰¹⁷ . Attamen, si rem accuratius spectemus, non erit profecto existimandum, nullam in tali distributione necessitatem aut utilitatem habuisse naturam, sed solum ad libitum et casu quodammodo operatam esse. Hoc cum de provida natura nullo pacto existimari posse perpenderem, interdum anxius fui in excogitanda, nisi necessaria, saltem congruente ac utili, aliqua causa: ac profecto, non nisi optimo iure summaque prudentia hunc elegisse ordinem naturam, comperi. Cum enim, ut antiquioribus philosophis placuit, una omnium corporum sit materia, et illa quidem graviora sint quae in angustiori spatio plures illius materiae particulas includerent, ut iidem philosophi, inmerito fortasse ab Aristotele 4 Caeli confutati, asserebant; rationi profecto consentaneum fuit, ut quae in angustiori loco plus materiae concluderent, angustiora etiam loca, qualia sunt quae centro magis accedunt, occuparent. Ut si, exempli gratia, intelligamus, naturam in prima mundi compagine totam elementorum communem materiam in quatuor aequas partes divisisse, deinde ipsius terrae formae suam materiam tribuisse, itidem et formae aëris suam, terrae autem formam materiam suam in angustissimo loco constipasse, aëris autem formam in amplissimo loco materiam suam reposuisse, nonne congruum erat ut natura aëri magnum spatium assignaret, terrae autem minus? At angustiora sunt loca in sphera quo magis ad centrum accedimus, ampliora vero quo magis ab eodem recedimus: prudenter, igitur, simul et aeque terrae statuit natura locum esse qui caeteris est angustior, nempe prope centrum; reliquis deinde elementis loca eo ampliora, quo ipsorum materia rarior esset. Nec tamen dixerim, aquae materiam tantam esse quanta est ipsius terrae, et, ob id, aquam, cum sit terra rarior, maiora loca occupare; sed solum quod, si accipiamus partem aquae quae aequeponderet cum terrae parte, et, ob id, tanta sit aquae materia quanta est terrae, tunc profecto terra illa minorem occupabit locum quam aqua: quare merito in angustiori spatio erit reponenda, nempe centro propius ¹⁰¹⁸ . Itaque, simili modo in reliquis elementis discurrendo, congruentiam quamdam, ne dicam necessitatem, talis dispositionis gravium et levium inveniemus.

Lationes naturales a gravitate vel levitate fieri.

Cum in superiori capite determinaverimus, et tanquam notissimum supposuerimus, ita a natura constitutum esse, ut, nempe, graviora sub levioribus maneant, nunc quomodo, quae deorsum feruntur, a gravitate moveantur, quae vero sursum, a levitate, est videndum. Cum enim gravia a gravitate habeant ut sub levioribus maneant (quatenus enim gravia sunt, sub levioribus a natura posita fuerunt) ¹⁰¹⁹ , ab eadem habebunt ut, supra leviora posita, sub leviora ferantur, ne, contra naturae distributionem, leviora sub gravioribus maneant. Et sic a levitate levia sursum ferentur, cum fuerint sub gravioribus: si enim a levitate habent ut super graviora maneant, ab eadem levitate habebunt ut sub gravioribus non maneant, nisi impediantur. Ex hoc autem patet, quomodo in motu non sit solum habenda ratio de mobilis levitate vel gravitate, sed de gravitate etiam et levitate medii, per quod fit motus: nisi enim aqua levior esset lapide, tunc lapis in aqua non descenderet. Sed quia hic posset difficultas oriri, cur lapis in mare proiectus deorsum naturaliter feratur, cum tamen aqua maris longe gravior sit proiecto lapide, in memoriam revocandum est quod cap..... adnotavimus: nempe, lapidem quidem aqua maris graviorem esse, si tantam aquae molem accipiamus quanta est moles lapidis; et ita lapis, quatenus aqua gravior, deorsum in aqua feretur. At rursus difficultas insurget, cur lapidi cum tanta mole aquae quanta est propria moles, non autem cum toto mari, ratio sit habenda. Quam quidem difficultatem ut de medio tollamus, demonstrationes nonnullas adferre statui: ex quibus non solum haec solutio, verum etiam totum negocium, pendet. Cum vero media, per quae motus contingunt, sint plura, ut ignis, aër, aqua, etc., et in omnibus eadem ratio sit habenda, supponemus medium, in quo fieri debet motus, esse aquam: et, primo quidem, demonstrabimus, ea corpora quae aeque gravia sunt ac ipsa aqua, in aquam demissa, demergi quidem tota, non tamen adhuc magis deorsum quam sursum ferri; 2°, ostendemus, quae leviora sunt aqua, in aquam nedum descendere, verum etiam nec tota demergi posse; 3°, demonstrabimus, quae sunt aqua graviora, deorsum necessario ferri.

Prima demonstratio,

ubi probatur, ea quae sunt aeque ¹⁰²⁰ gravia ac medium neque sursum neque deorsum ferri.

Ad demonstrationes itaque accedentes, primum quidem intelligatur magnitudo aliqua aeque gravis ac aqua, hoc est cuius gravitas aequalis sit gravitati aquae cuius moles aequetur moli dictae magnitudinis; sitque talis magnitudo ef: ostendendum itaque est, magnitudinem ef in aquam demissam demergi totam, non tamen magis sursum quam deorsum ferri. Et sit aquae status, ante quam magnitudo in ipsam demittatur, abcd; et magnitudo ef, in aquam demissa, si fieri potest, non demergatur tota, sed aliqua pars extet, nempe e; demergatur autem solummodo pars f. Necessarium itaque est, ut, dum magnitudo f demergitur, aqua attollatur: attollatur itaque superficies aquae ao usque ad superficiem st. Manifestum igitur est, tantam esse molem aquae so, quanta est moles partis magnitudinis demersae, nempe f: necessarium enim est ut locus, in quem intrat magnitudo, evacuetur ¹⁰²¹ aqua, et tanta moles aquae removeatur quanta est moles magnitudinis quae demergitur. Est itaque moles aquae so aequalis moli magnitudinis demersae, nempe ipsi f; quare et gravitas etiam ipsius f aequabitur gravitati aquae so. Et quia aqua so nititur sua gravitate deorsum redire ad pristinum suum statum, sed hoc assequi non potest nisi prius solidum ef ex aqua auferatur et ab aqua attollatur; solidum autem, ne attollatur, tota propria gravitate resistit; ponuntur autem tum solida magnitudo tum aqua in hoc statu consistentes; ergo necessarium est ut gravitas aquae so, qua sursum nititur solidum attollere, sit aequalis gravitati qua solidum resistit et deorsum premit (si enim maior esset gravitas aquae so gravitate solidi ef, attolleretur quidem ef atque expelleretur ab aqua; si vero maior esset gravitas solidi ef, attolleretur rursus aqua: quae tamen omnia ita consistentia ponuntur). Gravitas igitur aquae so aequatur gravitati totius ef: quod quidem est inconveniens; nam gravitas ipsius so aequatur gravitati partis f. Manifestum est igitur quod solidae magnitudinis ef nulla pars extabit, sed tota demergetur.

Haec tota est demonstratio, quam quidem ita longioribus verbis explicavi, ut qui primum in ipsam inciderint, facilius intelligere possint; sed poterat etiam breviori sermone melius explicari, ita ut totum robur demonstrationis ¹⁰²² tale sit. Demonstrandum est, magnitudinem ef, quae aeque gravis ponitur ac aqua, totam demergi. Nam, si non demergitur tota, aliqua illius pars extet: extet autem e; et aqua attollatur usque ad superficiem st; et, si fieri potest, in hoc statu maneant tum aqua tum magnitudo. Quia igitur magnitudo ef gravitate sua premit et attollit aquam so; aqua autem so, ne attollatur amplius, gravitate sua resistit; necessarium est ut tanta sit gravitas ef prementis, quanta est gravitas aquae so resistentis: cum enim ita ponantur manere, non erit maior pressio quam resistentia, nec e converso. Gravitas igitur aquae so aequatur gravitati magnitudinis ef: quod quidem est inconveniens; cum enim moles totius ef maior sit mole ipsius so aquae, erit etiam gravitas ef magnitudinis maior gravitate aquae so. Manifestum igitur est, magnitudines aeque graves ac aqua totas in aquam demergi: dico insuper, non magis sursum quam deorsum ferri, sed, quocunque ponantur, ibi manere. Nulla enim est causa cur descendere debeant aut ascendere: cum enim aeque graves ponantur ac aqua, dicere illas in aquam descendere esset idem ac si diceremus, aquam in aqua sub aquam descendere, et rursus aquam, quae super primam ascendit, deorsum iterum descendere, et sic aquam in infinitum procedere in alternatim descendendo et ascendendo; quod inconveniens est.

1

Secunda demonstratio,

in qua probatur, ea quae leviora sunt ac aqua non posse demergi tota.

Cum igitur in superiori capite ea demonstrata sint quae ad quietem spectant, nunc videnda sunt quae ad motum sursum faciunt. Dico itaque, magnitudines aqua leviores, in aquam demissas, non demergi totas, sed aliquam partem extare. Sit itaque primus aquae status, antequam magnitudo demittatur, secundum superficiem ef; magnitudo autem a, levior aqua, in aquam demissa, si fieri potest, demergatur tota, et aqua attollatur usque ad superficiem cd; et, si est possibile, maneant in hoc statu tum aqua tum magnitudo. Erit iam gravitas, qua magnitudo premit et attollit aquam cf, aequalis gravitati qua cf aqua premit ut magnitudinem a attollat. Sed etiam moles aquae cf aequatur moli magnitudinis a. Sunt igitur duae magnitudines, una in qua a, altera aqua cf; et gravitas ipsius a aequatur gravitati ipsius cf, et moles etiam a est aequalis moli ipsius aquae cf: ergo magnitudo a est aeque gravis ac aqua: quod quidem est absurdum; nam posita est magnitudo levior quam aqua. Non igitur magnitudo a manebit demersa tota sub aqua; ergo necessario sursum feretur.

Patet igitur cur et quomodo motus sursum proveniat ex levitate: et, ex his quae in hoc et superiori capite tradita sunt, potest facile colligi, quod ea quae sunt aqua graviora demerguntur tota et deorsum necessario feruntur. Demergi quidem tota, necessarium est: nisi enim tota demergerentur, essent iam, contra suppositum, leviora aqua; leviora enim esse aqua quae non tota demerguntur, ex converso mox allatae demonstrationis constat. Eadem vero deorsum ferri oportet. Nisi enim deorsum ferrentur, aut quiescerent, aut sursum moverentur: non autem quiescerent; quiescere, enim, nec magis sursum quam deorsum ferri, in praecedenti, ea quae aeque gravia sunt ac aqua, demonstratum est: sursum vero ferri quae aqua sunt leviora, mox apparuit. Ex his igitur omnibus satis percipi potest, eo quod necessarium sit ea quae deorsum moventur esse graviora medio per quod feruntur, quomodo gravia a gravitate deorsum moveantur; et quomodo lapidi in mare ¹⁰²³ proiecto non cum tota maris aqua ratio sit habenda, sed ¹⁰²⁴ tantum cum illa particula quae ¹⁰²⁵ a loco, in quem intrat lapis, est dimovenda. Sed, quia haec omnia, quae in superioribus his duobus capitibus tradita sunt, minus adhuc mathematice ¹⁰²⁶ , et magis physice ¹⁰²⁷ , declarari possunt, reducendo ea ad lancis considerationem, placuit in sequenti ¹⁰²⁸ capite convenientiam explicare, quam mobilia haec naturalia cum bilancis ponderibus servant: et hoc ad uberiorem eorum quae tradentur cognitionem, et ad exactiorem legentium cognitionem.

Caput...

in quo explicatur convenientia

quam naturalia mobilia cum librae ponderibus habent.

Quae igitur in lance contingunt prius examinabimus, ut omnia deinde in naturalibus mobilibus contingere ostendamus. Intelligatur itaque bilanx ab linea, cuius centrum, super quod fiat motus, sit c, lineam ab bifariam dispescens; sit autem duo pondera suspensa ex punctis a, b, quae sint e, o. In pondere itaque e tria possunt contingere: aut quiescere, aut moveri sursum, aut moveri deorsum. Si igitur pondus e gravius fuerit pondere o, tunc e deorsum feretur: quod si e fuerit minus grave, sursum profecto movebitur; et hoc; non quia non habeat gravitatem, sed quia maior est gravitas o. Ex quo patet quod in lance tam motus sursum quam motus deorsum proveniunt ex gravitate, sed diverso modo: nam motus sursum continget ipsi e propter gravitatem ipsius o, motus vero deorsum propter gravitatem suam. Quod si gravitas ponderis e aequabitur gravitati ipsius o, tunc e non movebitur quidem sursum neque deorsum: deorsum ¹⁰²⁹ enim non movebitur e, nisi pondus quod attollere debet, nempe o, sit minus grave; nec sursum feretur idem e, nisi pondus o, a quo trahi debet, sit gravius.

His in lance inspectis, ad naturalia mobilia revertentes, universaliter hoc proponere possumus: nempe, gravius non posse attolli a minus gravi. Quo supposito, facile est intellectu, cur solida quae leviora sunt ac aqua non demergantur tota. Nam si, verbigratia, in aquam demittamus trabem, tunc, si trabes demergenda est, necessarium est ut aqua exeat ex loco in quem intrat trabes, et sursum attollatur, hoc est dimoveatur a centro mundi. Si igitur aqua, quae attollenda est, gravior erit ipsa trabe, tunc profecto non poterit a trabe attolli: sed si trabes demergitur tota, tunc necesse est ut ex loco, in quem intrat trabes, removeatur tanta aqua quanta est moles ipsiusmet trabis: sed tanta aqua in mole, quanta est moles trabis, gravior est ipsa trabe (ponitur enim trabes aqua levior): non ergo possibile erit, trabem demergi totam. Hoc autem ei correspondet quod in lance dictum est, nempe minus pondus non posse maius attollere. Quod si trabes aeque ¹⁰³⁰ gravis esset ac aqua, hoc est si aqua, quae a trabe demergenda attollitur, non fuerit gravior sed aeque gravis ac trabes, trabes tunc profecto tota demergetur, cum resistentiam aquae attollendae non habeat; non tamen adhuc, tota sub aqua existens, magis sursum quam deorsum feretur: et hoc proportione respondet ei quod in lance dictum est de ponderibus aequalibus, quorum alterum nec sursum nec deorsum fertur. Quod si, rursus, trabes gravior fuerit aqua illa quae a trabe est attollenda, hoc est si trabes gravior fuerit tanta aqua, quanta est sua moles propria (attollitur enim a trabe demersa, ut saepius ¹⁰³¹ dictum est, tanta moles aquae quanta est suamet moles), tunc trabes certe deorsum feretur: quod quidem proportione respondet ei quod in lance dictum est, nempe tunc pondus unum deorsum ferri et alterum attollere, quando eo fuerit gravius. Insuper, in mobilibus etiam naturalibus, sicut et in ponderibus lancis, potest motuum omnium, tam sursum quam deorsum, causa reduci ad solam gravitatem. Quando enim quid fertur sursum, tunc attollitur a gravitate medii; ut, si trabes aqua levior vi sub aqua comprimeretur, tunc, quia trabes demersa tantam aquae molem extulit quanta est suamet moles, tanta autem moles aquae quanta est moles trabis gravior est ipsa trabe, tunc, dubio procul, a gravitate illius aquae attolletur trabes, et sursum impelletur: et sic motus sursum fiet a gravitate medii et levitate mobilis; motus vero deorsum, a gravitate mobilis et levitate medii ¹⁰³² . Et ex his, contra Aristotelem p.° Caeli 89, facile quispiam colligere poterit, quomodo quae moventur, moveantur, quodammodo, vi et per extrusionem medii: nam aqua trabem, vi demersum, extrudit violenter, cum, descendendo, ad propriam redit regionem, nec pati vult ut, quod se levius est, sub se maneat; et, pari pacto, lapis extruditur ac deorsum ¹⁰³³ impellitur quia gravior est medio. Patet igitur, talem motum posse dici violentum; quamvis communiter lignum in aqua sursum, et lapidem deorsum, naturaliter ferri, dicantur. Nec valet Aristotelis argumentum, dum dicit, Si esset violentus in fine remitteretur, non autem, ut facit, augeretur: nam motus violentus tunc remittitur quando mobile extra manum moventis fuerit, non autem dum motori est coniunctum.

Patet igitur, quomodo naturalium mobilium motus ad ponderum in lance motum congrue reducatur: ita ut, nempe, mobile naturale unius ponderis in lance vicem gerat; tanta autem moles medii, quanta est mobilis moles, alterum in lance pondus repraesentet. Ita ut si tanta moles medii, quanta est mobilis moles, gravior erit mobili, mobile autem levius, tunc mobile, tanquam levius pondus, sursum feretur: quod si mobile eadem medii mole gravius erit, tunc, tanquam gravius pondus, descendet: et si, demum, moles dicta medii aequabitur etiam in gravitate ipsi mobili, mobile nec sursum nec deorsum feretur; sicut in lance aequalia pondera, ad invicem, nec deprimuntur nec attolluntur. Et quia valde commode naturalia mobilia ad lancis pondera comparantur, in sequentibus ¹⁰³⁴ congruentiam hanc in omnibus, quae de naturali motu dicentur, ostendemus: quae profecto non modice ad intelligentiam conferet ¹⁰³⁵ .

Caput...

Unde ¹⁰³⁶ causetur celeritas et ¹⁰³⁷ tarditas motus naturalis.

Cum in superioribus satis abunde ¹⁰³⁸ explicatum sit, quomodo motus naturales proveniant a gravitate et levitate, nunc videndum est unde accidat maior aut minor ipsius motus celeritas. Quod quidem ut facilius assequi possimus, distinguendum hoc est: quod, scilicet, dupliciter accidit inaequalitas ¹⁰³⁹ inter motus tarditates et celeritates: vel enim est idem mobile in diversis mediis motum; vel idem est medium, diversa vero mobilia. In utroque motu ex eadem causa pendere tarditatem et celeritatem, nempe ex maiori vel minori gravitate mediorum et mobilium, mox demonstrabimus ¹⁰⁴⁰ ; ubi primum causam quae, talis effectus, tradita est ab Aristotele, insufficientem esse, ostenderimus.

Aristoteles igitur, 4 Phys. T. 71, scripsit, idem mobile citius moveri in medio subtiliori quam in crassiori, et, ideo, tarditatis motus causam esse crassitiem medii, velocitatis autem subtilitas; et hoc non alia ratione confirmavit nisi ab experientia, quia, nempe, videmus mobile aliquod velocius moveri in aëre quam in aqua. Verum hanc causam non sufficientem esse, proclive erit demonstrare. Si enim motus velocitas ex subtilitate medii provenit, idem mobile semper citius movebitur per media subtiliora: quod quidem falsum est; nam multa sunt mobilia, quae naturali motu velocius moventur in mediis crassioribus quam in subtilioribus, ut, verbigratia, in aqua quam in aëre. Si enim accipiamus, exempli gratia, tenuissimam vessicam ¹⁰⁴¹ inflatam, haec in aëre motu naturali tarde descendet; quod si ex aquae profundo demittatur, citissime sursum, motu itidem naturali, advolabit. Sed hic scio, aliquem posse respondere, vessicam ¹⁰⁴² in aëre quidem moveri et velociter deorsum ferri; in aqua vero, nedum citius, verum etiam non descendere. Cui ego e contra responderem, vessicam ¹⁰⁴³ in aqua sursum citissime ferri, in aëre deinde non moveri. Sed, ne disputationem in longum protraham, dico, in mediis subtilioribus velociorem contingere non omnem motum, sed tantum motum deorsum; motum vero sursum citiorem fieri in mediis crassioribus. Et hoc rationabiliter quidem accidit: necessarium enim est, ut ubi difficile fit motus deorsum, ibi facile fiat motus sursum. Manifestum est igitur, insufficienter ab Aristotele dictum fuisse, tarditatem motus naturalis ob medii crassitiem contingere. Quapropter, ipsius opinione derelicta, ut veram tarditatis et celeritatis motus causam afferamus, attendendum est, celeritatem non distingui a motu: qui enim ponit motum, ponit necessario celeritatem; et tarditas nihil aliud est quam minor celeritas ¹⁰⁴⁴ . A quo igitur provenit motus, ab eodem provenit etiam celeritas: cum itaque a gravitate et ¹⁰⁴⁵ levitate motus proveniat, ab eadem ut tarditas vel celeritas proveniant, necessarium est; a maiori quidem mobilis gravitate, maior celeritas illius motus qui ¹⁰⁴⁶ a gravitate mobilis fit, ut motus deorsum; a minori vero gravitate, eiusdem motus tarditas; et, rursus, a maiori mobilis levitate maior manabit celeritas illius motus qui a levitate mobilis fit, nempe motus sursum. Manifestum est itaque, quomodo diversitas celeritatis et tarditatis motus contingat in diversis mobilibus in eodem medio motis: si enim motus sit deorsum, quod gravius erit citius movebitur, quam quod minus grave; si vero motus erit sursum, illud velocius movebitur quod levius erit. Sed utrum duo mobilia in eodem medio lata in motuum celeritate ¹⁰⁴⁷ proportionem servent quam suae gravitates habent, ut credidit Aristoteles, inferius examinabitur. De celeritate deinde et tarditate eiusdem mobilis in diversis mediis similiter accidit: ut mobile citius in medio illo deorsum moveatur in quo gravius erit, quam in alio in quo minus grave; citius vero in medio illo ascendat in quo levius fuerit, quam in alio in quo minus leve ¹⁰⁴⁸ . Quare manifestum est, quod, si invenerimus in quibus mediis idem mobile gravius extiterit, inventa erunt media in quibus citius descendet; quod si, rursus, demonstremus, quantum idem mobile gravius sit in hoc medio quam in illo, erit, rursus, demonstratum, quanto citius in hoc quam in illo deorsum movebitur: et, converso modo de levi perscrutantes, cum invenerimus in quonam medio idem mobile levius erit, inventum erit medium in quo citius ascendet mobile; quod si comperiamus quanto in hoc, quam in illo medio, idem mobile sit levius, erit iam compertum quanto citius in hoc, quam illo medio, ascendat mobile. Verum, ut haec omnia in quolibet particulari motu exactius depraehendi valeant, primum quidem de illis motibus discurrentes qui a diversis mobilibus in eodem medio fiunt, ostendemus quam proportionem servent inter se eorum motus, quo ad tarditatem et celeritatem; deinde, de motibus qui ab eodem mobili in diversis mediis fiunt inquirentes, demonstrabimus similiter quam in huiusmodi motibus proportionem servent.

Caput...

in quo demonstratur, diversa mobilia in eodem medio mota

aliam servare proportionem ab ea, quae illis ab Aristotele est tributa.

Ut igitur ea quae sunt pertractanda facilius absolvantur, considerandum est, primum, diversitatem inter duo mobilia dupliciter posse contingere: vel enim sunt eiusdem speciei, ut, verbigratia, ambo plumbea aut ferrea; differunt autem in mole: vel sunt diversae speciei, ut ferreum unum, ligneum alterum; differunt autem inter se aut mole et gravitate, aut gravitate et non mole, aut mole et non gravitate. De illis mobilibus quae sunt eiusdem speciei dixit Aristoteles, illud velocius moveri quod maius est: et hoc in 4 Caeli ¹⁰⁴⁹ t. 26, ubi scripsit, quamlibet magnitudinem ignis sursum ferri, et velocius quae maior esset; et sic quamlibet terrae ¹⁰⁵⁰ magnitudinem deorsum moveri, et, similiter, velocius quae maior esset, Et idem, 3 Caeli t. 26, inquit: Sit mobile grave in quo b, et feratur per lineam ce, quae dividatur in puncto d; si itaque mobile b dividatur secundum proportionem qua dividitur linea ce in puncto d, manifestum est, in quo tempore totum fertur per totam lineam ce, in eodem partem moveri per lineam cd. Ex quo apertissime constat, velle Aristotelem mobilia eiusdem generis inter se eam servare in velocitate motus proportionem, quam habent ipsae mobilium magnitudines: et apertissime hoc dicit 4 Caeli t. 16, dicens magnum aurum citius ferri quam paucum ¹⁰⁵¹ . Quae quidem opinio quam sit ridiculosa, luce clarius patet: quis enim unquam credet, si, exempli gratia, ab orbe lunae duae sphaerae plumbeae demitterentur, quarum altera centies altera maior esset, quod, si maior in una hora ad terram usque deveniret, minor centum horarum spacium in motu suo consumeret? aut, si ex alta turri duos lapides, quorum alter altero sit duplus in mole, eodem momento proiciantur, quod, minore existente in dimidia turre, maior iam terram sit assecutus? Aut, rursus, si ex profundo maris eodem tempore ascendere incipiant maxima trabes et parvum ex eadem trabe frustrum, ita ut trabes centies maior sit ipso ligno, quis unquam dixerit, trabem centies velocius ¹⁰⁵² ad summum usque aquae ascensuram esse? ¹⁰⁵³

Sed, ut semper rationibus magis quam exemplis utamur (quaerimus enim effectuum causas, quae ab experientia non traduntur), sententiam nostram in medium afferemus, ex cuius comprobatione corruet Aristotelis opinio. Dicimus ergo, mobilia eiusdem speciei (eiusdem autem speciei vocentur quae ex eadem materia, ut plumbo vel ligno etc., conflantur), quamvis mole differant, tamen eadem cum celeritate moveri, nec citius descendere maior lapis quam minor. Qua conclusione qui mirantur, mirabuntur etiam, tam maximam trabem quam parvum lignum aquae supernatare posse: eadem enim est ratio; ut, si mente conciperemus aquam, cui supernatant trabes et modicum eiusdem trabis frustrum, paulatim et successive leviorem fieri, ita ut tandem aqua levior evadat ligno et ligna incipiant tarde descendere, quis unquam dixerit, trabem aut prius aut citius descensuram quam parvum lignum? Quamvis enim magna trabes sit ligno parvo gravior, tamen trabi cum multo aquae a se attollendae, ligno vero parvo cum paululo aquae, est ratio habenda: et quia a trabe est attollenda tanta aquae moles quanta est propria sua moles, et a ligno parvo similiter, moles istae duae aquae, quae scilicet a lignis attolluntur, eandem inter se in gravitate proportionem habebunt quam suae moles habent (partes enim homogeneorum ¹⁰⁵⁴ sunt inter se in gravitate sicut in mole; quod demonstrari oporteret), ¹⁰⁵⁵ hoc est quam habent inter se moles trabis et parvi ligni: ergo eandem habebit proportionem gravitas trabis ad gravitatem aquae a se attollendae, quam gravitas parvi ligni ad gravitatem aquae a se attollendae; et eadem facilitate a magna trabe superabitur repugnantia multae ¹⁰⁵⁶ aquae, qua a parvo ligno parvae aquae resistentia vincetur. Et si, rursus, mente concipiamus magnam, verbigratia, cerae molem aquae supernatantem ¹⁰⁵⁷ , quam ceram aut arena aut aliquo graviori commisceamus, ita ut tandem aqua gravior evadat et vix descendere tardissime incipiat, quis unquam crediderit, si particulam talis cerae accipiamus, utpote centesimam, aut non descensuram aut centies tardius quam tota cera? Nemo profecto. Et hoc idem in lance experiri licebit: si enim utrinque pondera aequalia et maxima imponantur, deinde alteri eorum quid grave superaddatur, sed modicum quidem, iam gravius descendet, sed non citius quam si pondera illa essent parva. Pari ratione et in aqua: trabes enim rationem habet unius ponderis in lance, alterum vero pondus repraesentatur a tanta mole aquae quanta est trabis moles: quod si haec aquae moles aequeponderet cum trabe, iam trabes non descendet; quod si trabes paululum ingravetur ita ut descendat, non iam citius descendet quam parvum ex eodem ligno frustrum, quod cum parva aqua aequeponderaret, deinde paululum gravius redderetur.

Sed libet hoc idem alio argumento confirmare. Et prius hoc supponatur: scilicet, si fuerint duo mobilia quorum alterum altero velocius moveatur, compositum ex utrisque tardius quidem moveri quam pars illa quae altera velocius movebatur, citius vero quam reliqua pars quae, sola, altera tardius ferebatur ¹⁰⁵⁸ : ut, exempli gratia, si intelligamus duo mobilia, ut cerae frustrum et vessicam inflatam, quae ex profundo aquae sursum ambo ferantur, tardius tamen cera quam vessica, petimus ut concedatur, quod si ambo componantur, compositum tardius ascensurum esse quam vessica sola, citius vero quam cera sola. Quod quidem apertissimum est: cui enim dubium est, quod tarditas cerae minuetur a velocitate vessicae, et, rursus, velocitas vessicae a tarditate cerae retardabitur, et fiet motus quidam medius inter tarditatem cerae et velocitatem ¹⁰⁵⁹ vessicae? Similiterque, si duo mobilia, rursus, descendant, quorum alterum altero tardius feratur, ut, verbigratia, si alterum sit lignum, alterum vessica, quae in aëre descendant, et citius quidem lignum quam vessica, hoc supponimus: si componantur, compositum tardius quidem descensurum quam lignum solum, citius vero quam sola vessica. Manifestum est enim quod celeritas ligni a tarditate vessicae tardabitur, tarditas vero vessicae a velocitate ligni accelerabitur; et fiet similiter motus quidam medius inter tarditatem vessicae et celeritatem ligni. Hoc supposito, sic arguo: probando, mobilia eiusdem speciei, mole inaequalia, eadem ferri cum celeritate ¹⁰⁶⁰ . Sint duo mobilia eiusdem speciei, a quidem maius, b vero minus; et, si fieri potest per adversarium, a citius moveatur quam b. Sunt igitur duo mobilia, quorum alterum citius movetur; ergo, ex suppositione, compositum ex utrisque tardius movebitur ea parte quae, sola, altera citius movebatur. Si ergo a, b componantur, compositum tardius movebitur quam a solum: sed compositum ex a et b maius est quam a solum: ergo, contra adversarios, maius mobile tardius movebitur quam minus; quod quidemesset inconveniens. Quid ergo clarius exquirimus de falsitate opinionis Aristotelis? Sed quaeso, cui, simpliciter et naturaliter hoc intuenti, veritas non statim cognoscitur? Si enim supponamus, a et b mobilia aequalia esse et esse ad invicem propinquissima, iam, omnium consensu, aequa celeritate movebuntur: quod si intelligamus, ea, dum moventur, uniri, cur, quaeso, ut voluit Aristoteles, celeritatem motus duplicabunt aut eam augebunt? Satis igitur confirmatum sit, non esse causam, per se, cur mobilia eiusdem speciei inaequali ¹⁰⁶¹ ad invicem velocitate moveri debeant, sed certe ut aequali. Quod si aliqua esset causa per accidens, ut, verbigratia, mobilis figura, haec inter causas per se non erit reponenda: et adde quod parum iuvat, aut impedit, motum figura, ut suo loco ostendemus. Neque etiam, ut multi solent, statim deveniendum est ad extrema, accipientes, verbigratia, maximam plumbi molem, et, rursus, minimam ex eodem lamillam seu bracteam, quae interdum etiam aquae supernatet: cum enim tam aëris quam aquae partium sit quaedam cohaerentia ¹⁰⁶² et (ut ita loquar) tenacitas atque viscositas, haec a minima gravitate non potest vinci. Intelligenda itaque est conclusio de mobilibus illis quorum minoris tanta sit gravitas et moles, ut a parva illa medii tenacitate non impediatur; qualis ¹⁰⁶³ esset, verbigratia, globus plumbi unius librae. Adde quod etiam cavillatoribus ¹⁰⁶⁴ huiusmodi, qui fortasse Aristotelem tueri posse sibi persuadent, hoc quidem accidit si ad extrema devenient, quod eo magis laborandum erit quo mobilia magis ad invicem differentia capient: si enim accipiant mobile unum quod altero millies maior sit, antequam illud millies alterum in velocitate superet ostendant, sudandum profecto erit et laborandum.

Sed, ut ad ea quae restant deveniamus, sequitur nunc ut videamus, mobilia diversa specie, in eodem medio mota, quamnam in suis motibus proportionem servent. Quae quidem mobilia licet inter se tripliciter differre possint; vel enim differunt mole et non gravitate, vel gravitate et non mole, vel mole et gravitate; de illis tantummodo est inquirendum, quae differunt gravitate et non mole. Proportiones enim eorum quae duobus aliis modis differunt, ad hanc reduci possunt: ut, si mobilia differant mole et non gravitate, si ex maiori accipiatur pars quae aequalis sit minori, erunt iam mobilia differentia gravitate et non mole; et quam proportionem servabit pars illa, ablata a maiori mobili, cum alio mobili ¹⁰⁶⁵ , eandem servabit etiam totum illud integrum mobile (demonstratum est enim, mobilia eiusdem generis, quamvis mole differant, eadem velocitate moveri): et similiter, si mobilia differant mole et gravitate, sumpta, ex maiori, parte quae ¹⁰⁶⁶ aequetur mobili minori, habebimus rursus duo mobilia quae different gravitate et non mole; et eandem proportionem servabit in motu pars illa cum altero mobili, quam totum etiam mobile alterum integrum (eadem enim, rursus, cum celeritate mobilium eiusdem speciei movetur pars et totum). Patet igitur quomodo, data proportione motuum eorum mobilium quae differunt tantum gravitate et non mole, dentur etiam proportiones eorum, quae quovis alio modo differant. Ut ¹⁰⁶⁷ igitur proportionem hanc inveniamus et, contra Aristotelis sententiam ostendamus, nullo pacto mobilia, etiam si diversae speciei, proportionem suarum gravitatum servare, ea demonstrabimus ex quibus non solum huius quaestionis ¹⁰⁶⁸ , verum etiam et quaestionis ¹⁰⁶⁹ de proportione motuum eiusdem mobilis in diversis mediis, exitus pendet; et utramque ¹⁰⁷⁰ quaestionem simul examinabimus.

Quare ad proportionem eiusdem mobilis in diversis mediis exquirendam deveniamus: et prius quidem examinemus, utrumnam Aristotelis de hoc sententia verior sit quam altera supra exposita, nec ne. Credidit itaque Aristoteles, motus eiusdem mobilis in diversis mediis eam in celeritate proportionem inter se servare, quam subtilitates mediorum inter se habent; et hoc quidem aperte scripsit 4 Physicorum t. 71, dum dixit: Medium magis impedit, quod crassius est: ut a movebitur per spacium b in tempore c, per spacium autem d, cum sit subtilius, tempore e, secundum proportionem impedientis, si aequalis sit longitudo; ut, si b sit aqua, d vero aër, quanto ergo subtilior est aër aqua, tanto citius a per d movebitur quam per b. Habet ergo velocitas ad velocitatem eam proportionem secundum quam distat aër ab aqua: quare, si in duplo subtilior ¹⁰⁷¹ aër quam aqua, in duplo tempore transibit a lineam b quam lineam d; et erit tempus c duplum ¹⁰⁷² temporis e. Haec sunt verba Aristotelis, quae falsam certe sententiam includunt: quod quidem ut luce clarius appareat ¹⁰⁷³ , hanc formabo demonstrationem. Si velocitas ad velocitatem eam habet proportionem quam medii subtilitas ad subtilitatem, esto mobile quidem o, et medium a, cuius subtilitas sit 4, et sit, verbigratia, aqua; medii vero b subtilitas sit 16, maior nempe subtilitate a, et sit b, exempli gratia, aër; et mobile o tale sit ut in aqua non descendat; eiusdem vero mobilis in b medio celeritas sit 8 ¹⁰⁷⁴ . Quia ergo mobilis o in medio b celeritas est 8, in medio vero a est nulla, poterit certe inveniri aliquod medium in quo mobilis o celeritas sit 1. Sit autem tale medium c. Quia igitur o citius movetur in medio b quam in medio c, necesse est ut subtilitas ipsius c sit minor subtilitate ipsius b, sitque, per adversarium, tanto minor quanto celeritas in ipso medio c minor est celeritate in medio b: posita autem est celeritas in medio b octupla celeritatis in medio c: ergo subtilitas etiam medii b erit octupla subtilitatis medii c: quare subtilitas ipsius c erit 2. Movetur ergo mobile o cum celeritate 1 in subtilitate medii c, quae est 2: positum autem est non moveri in subtilitate medii a, quae est 4: ergo mobile o non movebitur in maiori subtilitate, cum tamen in minori moveatur: quod est absurdissimum. Patet igitur, motuum velocitates non servare inter se subtilitatum mediorum proportiones. Sed, absque alia demonstratione, nonne quisque intueri potest falsitatem opinionis Aristotelis? Si enim motus servant mediorum proportionem, ergo et, conversim, media servabunt motuum proportionem: quia igitur lignum in aëre quidem descendit, in aqua vero minime, et, consequenter, motus in aëre ad motum in aqua nullam habet proportionem, ergo et raritas aëris ad raritatem aquae nullam habebit proportionem: quo quid absurdius? At ne quis forte sibi satis meo argumento respondisse videretur, si diceret, Quamvis lignum non moveatur deorsum in aqua, movetur tamen sursum, et quam proportionem habet motus sursum in aqua ad motum deorsum in aëre, hanc habet raritas aquae ad raritatem aëris; et ob id dextre Aristotelem salvasse existimaret; hoc quoque subterfugium auferemus: accipiendo, scilicet, corpus quod in aqua neque sursum ¹⁰⁷⁵ neque deorsum moveatur, ut esset, exempli gratia, ipsamet aqua, quae tamen satis velociter in aëre movetur.

Merito, igitur, posthabita Aristotelis sententia, inquiramus iam, quam servent proportionem motus ab eodem mobili in diversis mediis facti: et, prius quidem, de motu sursum ostendamus, solidas magnitudines aqua leviores, in aquam impulsas, ferri sursum tanta vi, quanto aqua, cuius moles aequetur moli demersae magnitudinis, ipsa magnitudine gravior erit. Sit itaque primus aquae status, antequam magnitudo in eam demittatur, secundum superficiem ab; et demittatur in eam, vi, solida magnitudo cd; et attollatur aqua usque ad superficiem ef: et quia aqua, quae attollitur, eb habet molem aequalem moli totius magnitudinis demersae, et magnitudo ponitur aqua levior, erit aquae eb gravitas maior gravitate cd. Intelligatur itaque pars aquae tb, cuius gravitas aequetur gravitati magnitudinis cd: demonstrandum itaque erit, magnitudinem cd sursum ferri tanta vi, quanta est gravitas aquae tf (secundum enim hanc gravitatem aqua eb gravior est gravitate aquae tb, hoc est gravitate magnitudinis ¹⁰⁷⁶ cd). Quia itaque gravitas aquae tb aequalis est gravitati cd, tanta vi premet sursum aqua ¹⁰⁷⁷ tb ut magnitudinem ¹⁰⁷⁸ attollat, quanta resistet magnitudo ne attollatur. Gravitas itaque partis aquae prementis, nempe tb, aequatur resistentiae solidae magnitudinis: sed gravitas totius aquae prementis eb superat gravitatem aquae tb secundum gravitatem aquae tf: ergo gravitas totius aquae eb superabit resistentiam solidi cd secundum gravitatem tf aquae. Gravitas itaque totius aquae prementis sursum impellet solidam magnitudinem tanta vi, quanta est gravitas partis aquae tf: quod fuit demonstrandum.

Ex hac demonstratione patet, primo, quomodo, ut supra dictum fuit, motus sursum fiat etiam a gravitate, non quidem mobilis, sed medii: 2°, colligitur nostrae quaestionis intentum. Quia enim quaerimus, quanto citius idem mobile ascendat per hoc medium quam per alterum, quotiescunque noverimus quanta celeritate per utrumque feratur, sciemus etiam discrimen inter utrasque ¹⁰⁷⁹ celeritates: et hoc est quod quaerimus. Si igitur hoc lignum, verbigratia, cuius gravitas est 4, fertur in aqua sursum, et tantae molis aquae, quanta est moles ligni, gravitas est 6, feretur iam lignum celeritate ut 2: quod si, rursus, idem lignum feratur sursum in medio aqua graviori, ita ut tantae molis huius secundi medii, quanta est moles ligni, gravitas sit 10, iam lignum in hoc feretur sursum celeritate ut 6. In altero autem ¹⁰⁸⁰ ferebatur celeritate ¹⁰⁸¹ ut 2: ergo istae duae celeritates erunt inter se sicut 6 et 2; non autem ut gravitates aut crassities ¹⁰⁸² mediorum, ut volebat Aristoteles, quae sunt inter se ut 10 et 6. Patet igitur, universaliter, celeritates inter se motuum sursum, esse, sicut excessus gravitatis unius medii super gravitatem mobilis se habet ad excessum gravitatis alterius medii super gravitatem eiusdem mobilis. Quare, si statim voluerimus cognoscere celeritates eiusdem mobilis in duobus mediis, accipiamus ex utroque medio duas moles aequales moli mobilis, et gravitas mobilis ex utriusque medii gravitate ¹⁰⁸³ subtrahatur; et remanentes numeri erunt inter se sicut motuum celeritates ¹⁰⁸⁴ . Colligitur etiam exitus alterius quaestionis: nempe, quam proportionem servent in celeritate motuum diversa mobilia, aequalia mole, et gravitate ¹⁰⁸⁵ inaequalia ¹⁰⁸⁶ . Si enim unumquodque fertur sursum tanta vi, quanto tanta moles medii, quanta est mobilis moles, gravior est ipso mobili, subtractis, ex dictae medii molis gravitate, mobilium gravitatibus, remanentes numeri eam inter se habebunt proportionem, quam celeritates: ut si, verbigratia, unius mobilis gravitas sit quatuor, alterius vero 6, medii vero 8, erit iam mobilis ¹⁰⁸⁷ , cuius gravitas est 4, celeritas 4, alterius vero mobilis celeritas 2. Istae autem celeritates, 4 et 2, non sunt inter se sicut mobilium levitates, quae ¹⁰⁸⁸ sunt 6 et 4: nunquam enim excessus unius numeri super duos alios erunt inter se sicut illi duo numeri; neque excessus duorum numerorum super alium numerum erunt inter se sicut numeri excedentes. Apertissimum igitur est, quod, in motu sursum, mobilium diversorum motus non sunt inter se sicut levitates mobilium.

Restat igitur ut ostendamus, neque in motu deorsum mobilium celeritates esse inter se sicut gravitates mobilium, et ut, simul, ostendamus proportionem uam servant celeritates eiusdem mobilis in diversis mediis: quae omnia ex hac demonstratione facile haurientur ¹⁰⁸⁹ . Dico igitur, solidam magnitudinem aqua graviorem deorsum ferri tanta vi quanto aqua, molem habens aequalem moli ipsius magnitudinis, levior est ipsa magnitudine. Sit itaque primus aquae status secundum superficiem de; magnitudo autem solida bl, aqua gravior, in aquam demittatur, et attollatur aqua ad superficiem ab; sit autem aqua ae, quae molem ipsius magnitudinis moli aequalem habeat: et quia solida magnitudo ponitur aqua gravior, erit aquae gravitas minor gravitate solidae magnitudinis. Intelligatur itaque moles aquae ao, quae aequalem habeat gravitatem gravitati bl: et quia aqua ae levior est ao secundum gravitatem do, demonstrandum est, magnitudinem bl deorsum ferri tanta vi, quanta est gravitas aquae do. Intelligatur altera solida magnitudo, aqua levior, primae coniuncta, cuius quidem moles sit ao aquae moli aequalis, gravitas autem eius sit aequalis gravitati aquae ae; sitque dicta magnitudo lm: et quia moles bl aequatur moli ae, moles autem lm aequatur moli ao, ergo moles compositarum magnitudinum bl, lm aequatur moli compositae aquae ea, ao. Sed gravitas magnitudinis aquae ae aequatur gravitati magnitudinis lm: gravitas autem aquae ao aequatur gravitati magnitudinis bl: tota ergo gravitas ambarum magnitudinum bl, lm aequatur gravitati aquae oa, ae. Sed etiam moles magnitudinum demonstrata est aequalis moli aquae oa, ae; ergo, per primam propositionem, magnitudines ita compositae neque sursum neque deorsum ferentur. Tanta ergo erit vis magnitudinis bl deorsum prementis, quanta est vis magnitudinis lm sursum impellentis: sed, per praemissam, magnitudo lm sursum impellit tanta vi, quanta est gravitas aquae do: ergo magnitudo bl deorsum feretur tanta vi, quanta est gravitas aquae do. Quod fuit demonstrandum.

Hac igitur demonstratione percepta, quaestionum exitus facile dignosci potest. Constat enim, idem mobile in diversis mediis descendens eam, in suorum motuum celeritate ¹⁰⁹⁰ , servare proportionem, quam habent inter se excessus quibus gravitas ¹⁰⁹¹ sua mediorum gravitates excedit: ut si mobilis gravitas sit 8, molis autem unius medii, aequalis moli mobilis, gravitas sit 6, erit iam illius celeritas ut 2; quod si molis alterius medii, aequalis mobilis moli, gravitas sit 4, erit iam mobilis celeritas, in hoc medio, ut 4. Patet ergo quod istae celeritates erunt inter se sicut 2 et 4; non autem ut mediorum crassities aut gravitates, ut volebat Aristoteles, quae inter se sunt ut 6 et 4. Exitus itidem alterius quaestionis patet: quam, scilicet, proportionem servent inter se mobilium, aequalium mole, inaequalium vero gravitate, in eodem medio, velocitates. Erunt enim inter se talium mobilium velocitates, ut excessus quibus gravitates mobilium gravitatem medii excedunt: ut, exempli gratia, si fuerint duo mobilia mole aequalia, gravitate vero inaequalia, quorum alterius gravitas sit 8, alterius vero 6, molis autem medii, aequalis moli alterius mobilis, sit gravitas 4, illius quidem mobilis celeritas erit 4, huius vero 2. Servabunt igitur hae velocitates proportionem quae est 4 ad 2; non illam quae est inter gravitates, nempe 8 ad 6. Atque ¹⁰⁹² ex his omnibus quae tradita sunt, haud arduum erit proportionem quoque depraehendere, quam diversa, specie, mobilia in diversis mediis servabunt. Scrutetur enim, quam servent proportionem, in celeritate, utraque in eodem medio; quod, uti faciendum sit, patet ex superioribus ¹⁰⁹³ : deinde inquiratur, quam celeritatem habeat alterum eorum in alio medio, per ea itidem quae supra tradita sunt: et habebimus quod quaeritur ¹⁰⁹⁴ . Ut, verbigratia, si fuerint duo mobilia, mole quidem aequalia, gravitate vero diversa, et sit huius quidem gravitas 12, illius vero 8, et quaeramus proportionem inter celeritatem illius, cuius gravitas 12, in aqua descendentis, et celeritatem illius, cuius gravitas 8, in aëre descendentis; videatur, primo, quanto 12 velocius descendat in aqua quam 8, deinde videatur quanto citius 8 fertur in aëre quam in aqua: et habebimus intentum; aut ¹⁰⁹⁵ , e contra, videatur quanto 12 citius in aëre descendat quam 8, deinde 12 quanto tardius feratur in aqua quam in aëre.

Hac ¹⁰⁹⁶ , igitur, universales sunt regulae proportionum motuum mobilium, sive eiusdem sive non eiusdem speciei, in eodem vel in diversis mediis, sursum aut deorsum motorum. Sed animadvertendum est, quod magna hic oritur difficultas: quod proportiones istae, ab eo qui periculum fecerit, non observari comperientur. Si enim duo diversa mobilia accipiet, quae tales habeant conditiones ut alterum altero duplo citius feratur, et ex turri deinde demittat, non certe velocius, duplo citius, terram pertinget: quin etiam, si observetur, id quod levius est, in principio motus ¹⁰⁹⁷ praeibit gravius et velocius erit. Quae quidem diversitates et, quodammodo, prodigia unde accidant (per accidens enim haec sunt), non est hic locus inquirendi: praevidenda enim nonnulla sunt, quae nondum inspecta fuere. Videndum enim prius est, cur motus naturalis tardior sit in principio.

Caput...

in quo ea omnia, quae supra demonstrata sunt, naturali discursu considerantur, et ad lancis pondera naturalia mobilia reducuntur.

Quando quis veritatem alicuius rei nactus est, et non nisi summo labore comparavit, deinde, sua inventa diligentius inspiciens, saepius ¹⁰⁹⁸ cognoscit quomodo ea, quae magno negocio invenit, poterant facillime percipi. Habet enim hoc veritas, ut non adeo, ut multi crediderunt, latitet; sed eius vestigia diversis locis splendent, multi sunt calles per quos ad eam inceditur ¹⁰⁹⁹ : nobis tamen saepius ¹¹⁰⁰ accidit ut ea non cernamus quae propinquiora et clariora sunt. Et de hoc exemplum prae manibus manifestum habemus: ea enim omnia, quae supra satis ardue demonstrata et declarata fuerunt, nobis a natura adeo aperta et manifesta exponuntur, ut nihil clarius, nil apertius.

Quod quidem ut cuique appareat, consideremus, primo, quomodo et cur ea quae feruntur sursum, ferantur tanta vi, quanto tanta moles medii, per quod feruntur, quam tanta est moles mobilis, gravior est ipso mobili. Intelligamus itaque lignum quod in aqua ascendat et aquae supernatet: iam manifestum est quod lignum fertur sursum tanta vi, quanta esset necessaria ad illud vi sub aquam ¹¹⁰¹ demergendum. Si itaque inveniamus, quanta vis necessaria sit ad illud sub aquam comprimendum, habebimus intentum: sed lignum nisi esset levius aqua, hoc est si esset grave ut tanta moles aquae quanta est sua moles, iam certe demergeretur, et non attolleretur supra aquam: tanta ergo vis, quanta est gravitas secundum quam ligni gravitas superatur a gravitate dictae molis aquae, sufficit ad lignum demergendum. Inventa est ergo quanta gravitas requiratur ad lignum demergendum: sed mox determinatum fuit quod lignum sursum fertur tanta vi, quanta requiritur ad illud demergendum; requiritur autem ad illud demergendum gravitas mox inventa: ergo lignum fertur sursum tanta vi, quanta est gravitas qua tanta moles aquae, quanta est moles ligni, excedit gravitatem ligni: quod quaerebatur.

Pari ratione ¹¹⁰² de motu deorsum est ratiocinandum. Quaerimus ¹¹⁰³ igitur, sphera plumbea quanta vi deorsum feratur in aqua. Patet igitur, primo, quod sphera plumbea fertur deorsum tanta vi, quanta requireretur ad illam sursum attrahendam: sed si sphera ¹¹⁰⁴ plumbea esset aquea ¹¹⁰⁵ , nulla vis esset necessaria ad illam sursum attrahendam, aut certe minima ¹¹⁰⁶ omnium virium: resistit ¹¹⁰⁷ ergo, ne sursum trahatur sphaera, tanta gravitas, quanta sphaera plumbea sphaeram aqueam sibi aequalem excedit. Sed eadem vi, qua sphaera plumbea resistit ¹¹⁰⁸ ne sursum trahatur, deorsum ¹¹⁰⁹ etiam fertur: ergo sphaera plumbea fertur deorsum tanta vi, quanta est gravitas qua excedit gravitatem sphaerae aqueae. Hoc autem idem licet in lancis ponderibus intueri. Si enim pondera aeque ponderantia fuerint, et alteri eorum aliquod grave imponatur, tunc id deorsum feretur; sed non secundum totam suam gravitatem, sed tantum ea gravitate qua alterum pondus excedit: quod idem est ac si dicamus, pondus hoc deorsum ferri tanta vi quanto aliud pondus est eo levius. Et pari ratione alterum ¹¹¹⁰ pondus feretur sursum tanta vi, quanto alterum est eo gravius.

Ex his quae in hoc et superiori capite tradita sunt, colligitur universaliter, mobilia diversae speciei ¹¹¹¹ eandem in suorum motuum celeritatibus servare proportionem, quam habent inter se gravitates ipsorum mobilium, dum fuerint aequales mole; et hoc quidem non simpliciter, sed in eo medio ponderata in quo fieri debet motus. Ut, verbigratia, sint duo mobilia, mole aequalia, inaequalia gravitate, a, b; et gravitas a in aëre sit 8, gravitas vero b in aëre sit 6: istorum mobilium in aqua celeritates non servabunt, ut iam dictum est, proportionem quae est 8 ad 6. Si enim accipiamus molem aquae c, quae aequetur moli alterius mobilis, sit eius gravitas 4: celeritas ergo mobilis a erit ut 4, celeritas vero b erit ut 2; quae celeritates erunt inter se in dupla proportione, non autem in sesquitertia ¹¹¹² , ut sunt gravitates mobilium in aëre ponderatorum. Attamen eorundem mobilium in aqua gravitates quoque erunt in proportione dupla ¹¹¹³ : gravitas enim a in aqua esset tantum 4. Quod sic patet. Si gravitas a in aëre esset 4, in aqua esset nulla. Esset enim tunc a aeque grave ac aqua, cum positum sit tantae molis aquae quanta est moles a, nempe c, in aëre gravitatem ¹¹¹⁴ esse 4: gravitas autem c in aqua esset nulla; non enim aut sursum aut deorsum ferretur: ergo etiam a in aqua gravitas esset nulla, si in aëre esset 4. Sed quia in aëre est 8, in aqua erit 4: et, eadem ratione, gravitas b in aqua esset 2: quare eorum gravitates essent in dupla proportione, sicut et motuum celeritates. Pari ratione de levi est discurrendum. Colligitur etiam, quomodo, datis duorum ponderum gravitatibus in aëre, statim ¹¹¹⁵ gravitates eorundem in aqua cognosci possunt: ex utroque enim subtracta gravitate tantae aquae molis quanta est eorum moles, remanebunt gravitates eorum in aqua. Et sic de aliis mediis. Et ex supradictis unicuique manifestum esse potest, quod nullius rei propriam suam gravitatem habemus: si enim, verbigratia, duo pondera ponderentur in aqua, quis dixerit gravitates, quas tunc videbimus, veras esse gravitates eorum ponderum, quorum deinde, in aëre ponderatorum, diversae ab his gravitates apparebunt, et aliam inter se proportionem servabunt? Quae si rursus in alio medio, ut, verbigratia, igne, ponderari possent, essent itidem diversae gravitates, aliamque proportionem inter se habentes: et hoc semper, pro mediorum diversitate ¹¹¹⁶ , variabunt. Quod si in vacuo ponderari possent, tunc certe, ubi nulla medii gravitas ponderum gravitatem minueret, eorum exactas perciperemus gravitates. Sed quia Peripatetici, cum principe suo, dixerunt, in vacuo nullos fieri posse motus et ideo omnia aeque ¹¹¹⁷ ponderare, forte non absonum erit hanc opinionem examinare, et eius fundamenta et demonstrationes perpendere: haec enim quaestio ¹¹¹⁸ est una eorum quae de motu sunt.

Caput...

ubi, contra Aristotelem, demonstratur,

si vacuum esset, motum in instanti non contingere, sed in tempore.

Aristoteles, 4 Phys., nitens tollere vacuum, multa facit argumenta; quorum quae a t. 64 sunt, ex motu sunt deprompta. Quia enim ponit motum in ¹¹¹⁹ instanti fieri non posse, demonstrare contendit, si vacuum daretur, motum in eo in instanti contingere: quod quidem cum impossibile sit, vacuum etiam impossibile esse, necessario concludit. Nos autem, cum de motu agamus, statuimus exquirere ¹¹²⁰ utrum verum sit quod, si daretur vacuum, motus in eo in instanti fieret: et cum determinaturi simus, in vacuo motum fieri in tempore, prius contrariam opinionem examinabimus et illius argumenta.

Et, primo quidem, argumentorum ab Aristotele allatorum, nullum profecto est quod necessitatem habeat; sed unum quidem est quod necessitatem habere, prima fronte, videtur: et hoc illud est quod t. 71 et 72 scribitur, in quo ad inconveniens illud deducit, si motus in tempore fiat in vacuo, quod, scilicet, eodem tempore movebitur idem mobile in ¹¹²¹ pleno et vacuo. Quod quidem argumentum ut melius diluere possimus, nunc in medium afferre statuimus. Supposuit itaque hoc, primum, Aristoteles, cum vidisset idem mobile per subtiliora media citius ferri quam per crassiora: eandem proportionem servare motus velocitatem in uno medio ¹¹²² ad alterius motus velocitatem in altero medio, quam medii unius subtilitas ad alterius medii subtilitatem. Deinde sic est argumentatus: Transeat mobile a medium b in tempore c; medium autem subtilius ipso, nempe d, transeat in tempore e: manifestum est, sicut crassities b ad crassitiem d, ita se habere tempus c ad tempus e. Sit deinde f vacuum; et mobile a, si fieri possit, transeat ipsum f, non in instanti, sed tempore g; et sicut tempus e se habet ad tempus g, ita se habeat crassities medii d ad alterius medii crassitiem. Tunc, ex his quae constituta sunt, mobile a per medium nunc inventum movebitur in tempore g, cum medium d ad medium nunc inventum eandem habeat proportionem quam e tempus ad tempus g: sed eodem tempore g movetur a etiam per vacuum f: ergo a eodem tempore movebitur per duo spatia aequalia, quorum unum sit plenum, alterum vero vacuum; quod quidem est impossibile. Non ergo mobile movebitur per vacuum in tempore; ergo in instanti.

Haec est Aristotelis demonstratio: quae quidem optime et necessario conclusisset, si ea, quae assumpsit, demonstrasset Aristoteles, aut, si non demonstrata, fuissent saltem vera; sed in hoc deceptus ¹¹²³ est, quod ea tanquam nota axiomata assumpsit, quae non solum non sunt sensui manifesta, verum nec unquam demonstrata, nec etiam demonstrabilia, cum prorsus falsa existant. Posuit enim eiusdem mobilis motus in diversis mediis eam, in celeritate, inter se proportionem servare, quam habent mediorum subtilitates: quod quidem falsum esse, supra abunde demonstratum est. Ad cuius etiam confirmationem hoc unum addam: si subtilitas aëris ad aquae subtilitatem eam proportionem habet quam celeritas eiusdem mobilis in aëre ad celeritatem ipsius in aqua, cum igitur gutta aut quaelibet alia pars aquae in aëre quidem velociter descendat, in aqua vero nec hilum quidem deorsum moveatur, cum celeritas in aëre ad celeritatem in aqua nullam habeat proportionem, iam, ex ipsomet Aristotele, subtilitas aëris ad subtilitatem aquae nullam proportionem servabit: quod ridiculum est ¹¹²⁴ . Patet igitur quod sit Aristoteli respondendum, cum ita argumentatur: primum, enim, falsum est, ut supra est ostensum, differentiam tarditatis et velocitatis eiusdem mobilis ex maiori aut maiori crassitie et subtilitate medii provenire; quod etiam si concederetur, falsum etiam est, mobile in motibus eam servare proportionem quam mediorum subtilitates.

Et quod eodem loco scribit Aristoteles, quod impossibile est numerum ad numerum eam habere proportionem quam numerus ¹¹²⁵ ad nihil, verum quidem est de proportione geometrica, et non solum in numeris sed in omni quantitate. Cum in proportionibus geometricis necessarium sit ut minor quantitas possit toties multiplicari, ut tandem quamcunque magnitudinem excedat, oportet dictam quantitatem esse aliquid et non nihil; nihil enim semper in se multiplicatum nullam tamen quantitatem excedet. Attamen hoc non est necessarium in proportionibus arithmeticis ¹¹²⁶ : potest enim in his numerus ad numerum eam habere proportionem quam numerus ad nihil. Cum enim numeri illi sint in eadem arithmetica ¹¹²⁷ proportione cum maiorum super minoribus excessus fuerint aequales, poterit profecto numerus ad numerum eandem habere proportionem quam alius numerus ad nihil: ut si dicamus, 20 ad 12 est sicut 8 ad 0; excessus enim 20 super 12, qui est 8, est idem cum excessu ipsius 8 super 0. Quare si, ut volebat Aristoteles, motus inter se eam geometrice haberent ¹¹²⁸ proportionem quam subtilitas ad subtilitatem, bene conclusisset quod in vacuo non contingeret motus in tempore; tempus enim in pleno ad tempus in vacuo non potest habere proportionem quam subtilitas pleni ad subtilitatem vacui, cum vacui subtilitas nulla sit: sed si celeritas ad celeritatem non geometrice sed arithmetice dictam proportionem servaret, iam nullum absurdum sequeretur ¹¹²⁹ . At certe quidem celeritas ad celeritatem eam, arithmetice, proportionem servat, quam levitas medii ad medii levitatem ¹¹³⁰ ; cum celeritas ad celeritatem se habeat, non sicut levitas medii ad medii levitatem ¹¹³¹ , sed, ut demonstratum est, sicut excessus gravitatis mobilis super ¹¹³² huius medii gravitatem ad excessum gravitatis eiusdem mobilis super alterius medii gravitatem.

Quod quidem ut clarius appareat, ecce exemplum. Sit mobile a, cuius gravitas sit 20; duo autem media inaequalia ¹¹³³ in gravitate sint bc, de; et moles b aequalis moli a, et moles d aequalis moli itidem a; et, quia loquimur nunc de motu deorsum qui in vacuo fit, sint media leviora mobili, et ipsius b sit gravitas 12, ipsius vero d sit ¹¹³⁴ gravitas 6: manifestum igitur est, ex supra demonstratis, quod celeritas mobilis a in medio bc ad celeritatem mobilis eiusdem in medio de erit sicut excessus gravitatis ipsius a super gravitatem ipsius b ad excessum gravitatis ipsius a super gravitatem d, hoc est sicut 8 ad 14. Sit ergo celeritas a in medio bc ut 8, celeritas vero eiusdem a in medio de sit 14 ¹¹³⁵ : apparet iam celeritas 14 ad celeritatem 8 non eam geometrice servare proportionem, quam levitates mediorum. Levitas enim medii de dupla est levitatis medii bc (cum enim gravitas b sit 12, gravitas vero d sit 6, hoc est cum gravitas b sit dupla gravitatis d, erit levitas d dupla levitatis b); attamen celeritas 14 est minus quam dupla celeritatis 8. Sed habet certe celeritas 14 ad celeritatem 8 eandem ¹¹³⁶ arithmetice proportionem quam levitas d ad levitatem b; cum excessus 14 super 8 sit 6, et 6 etiam excessus levitatis d 12 super levitatem b 6. Quod si, rursus, medium de levius sit, ita ut gravitas ipsius d sit 5, erit iam celeritas f 15 (15 enim erit excessus gravitatis mobilis a super gravitatem medii d); et erit, rursus, celeritatis 15 ad celeritatem 8 eadem proportio quae erit gravitatis medii b 12 ad gravitatem medii ¹¹³⁷ d 5, hoc est levitatis d ad levitatem b: utrinque enim excessus erit 7. Quod si, rursus, gravitas d sit tantum 4, erit celeritas f 16; et erit celeritatis 16 ad celeritatem 8 (cuius excessus est 8) eadem itidem arithmetica proportio quae erit gravitatis b 12 ad gravitatem d 4, hoc est levitatis ¹¹³⁸ d ad levitatem b, quarum excessus est itidem 8. Quod si, rursus, medium de sit levius et gravitas d sit tantum 3, erit iam celeritas f 17; et erit celeritatis ¹¹³⁹ f 17 ad celeritatem 8 (cuius excessus est 9) eadem arithmetica proportio quae est gravitatis ¹¹⁴⁰ b 12 ad gravitatem d 3, hoc est levitatis d ad levitatem b. Quod si, rursus, medium de sit levius et sit gravitas ipsius d tantum 2, erit iam celeritas f 18; et illius proportio arithmetica ad celeritatem 8 erit eadem quae est gravitatis b 12 ad gravitatem d 2, hoc est levitatis d ad levitatem b: utrinque enim excessus erit 10. Quod si, rursus, medium de sit levius et gravitas d sit tantum 1, erit iam celeritas f 19; quae ad celeritatem 8 eandem habebit arithmeticam proportionem, quam habet gravitas b 12 ad gravitatem d 1, hoc est levitas d ad levitatem b: utrinque enim excessus erit 11. Quod si, demum, gravitas d sit 0, ita ut excessus gravitatis a mobilis super medium d sit 20, erit celeritas f 20; eritque celeritatis f 20 ad celeritatem 8 eadem arithmetice proportio quae est gravitatis b 12 super gravitatem d 0: utrinque enim excessus erit 12.

Patet ergo quomodo celeritas ad celeritatem, non geometrice sed arithmetice, eam servet proportionem quam medii levitas ad medii levitatem: et cum non sit absurdum, in arithmetica proportione, quantitatem ad quantitatem ¹¹⁴¹ ita se habere sicut quantitas ad nihil, non erit similiter profecto absurdum, celeritatem ad celeritatem ¹¹⁴² ita arithmetice posse se habere sicut raritas ad nihil. Quapropter in vacuo quoque eadem ratione movebitur mobile, qua in pleno. In pleno enim mobile movetur celeriter secundum excessum suae gravitatis super medii, per quod movetur, gravitatem; et ita in vacuo movebitur secundum excessum suae gravitatis super vacui gravitatem: quae cum nulla sit, erit excessus gravitatis mobilis super gravitatem vacui tota ipsius mobilis gravitas; quare celeriter movebitur secundum totam suam gravitatem. In pleno autem nullo tam celeriter moveri poterit, cum mobilis ¹¹⁴³ gravitatis excessus supra gravitatem medii sit minor quam tota mobilis gravitas: quare etiam minor erit celeritas, quam si secundum totam suam gravitatem moveretur.

Ex quo manifeste colligi potest, quomodo in pleno, ut apud nos, nulla ponderantur secundum eorum propriam naturalemque gravitatem; sed semper eo erunt leviora quo in medio graviori extiterint, et erunt quidem leviora tantum quanta esset gravitas molis talis medii aequalis moli illius rei in vacuo: ita ut sphaera quidem plumbea in aqua erit tanto levior quam in vacuo, quanta est gravitas sphaerae aqueae, aequalis sphaerae plumbeae, in vacuo; et sic sphaera plumbea in aëre est tanto levior quam in vacuo, quanta esset gravitas sphaerae aëreae, mole aequalis sphaerae plumbeae, in vacuo; et sic in igne, et ceteris. Et quia ex gravitate quam habet mobile in medio, in quo movetur, sequitur motus celeritas, eo erit celerior motus quo gravius erit idem mobile pro diversitate mediorum. Nec tamen valet hoc argumentum: Vacuum est medium omni pleno medio infinite levius; ergo in ipso continget motus infinite celerior quam in medio pleno; ergo in instanti. Nanque verum est quod vacuum infinite levius est quovis medio: nec tamen dicendum est, tale medium esse infinitae gravitatis; sed ita est intelligendum, ut possunt esse inter aëris, verbigratia, levitatem et vacuum ¹¹⁴⁴ infinita media, leviora aëre, vacuo vero graviora. Quod si ita intelligatur, etiam inter celeritatem in aëre et celeritatem in vacuo possunt esse infinitae celeritates, maiores celeritate quae contingit in aëre, minores vero celeritate in vacuo: sic et inter gravitatem mobilis in aëre et gravitatem eiusdem in vacuo possunt esse infinitae gravitates mediae, maiores quidem gravitate in aëre, minores vero gravitate in medio. Et hoc contingit in omni continuo: ut inter ¹¹⁴⁵ lineas a, b, quarum a maior, possunt esse infinitae lineae mediae, minores quidem a, maiores vero b (cum enim excessus, quo a superat b, sit linea, erit infinite divisibilis): non tamen dicendum est, lineam a infinite excedere lineam b, ita ut, etiam si b infinite multiplicetur, non componat tandem lineam maiorem ipsa a. Et ita, pari ratione, si intelligamus a esse celeritatem in vacuo, b vero celeritatem in aëre, poterunt quidem esse inter a et b infinitae celeritates, maiores quam b et minores quam a: nec ¹¹⁴⁶ tamen concludendum erit, a infinite excedere ipsam b, ita ut tempus in quo fit celeritas a, in se quantumlibet multiplicatum, nunquam tamen possit excedere tempus celeritatis b, et, ideo, celeritas temporis a sit instantanea. Patet ergo quomodo intelligendum sit: Levitas vacui infinite excedit levitatem medii, ergo celeritas in vacuo infinite excedet celeritatem in pleno. Conceditur totum. Ergo celeritas in vacuo erit in instanti, negatur. Potest enim esse in tempore ¹¹⁴⁷ , sed breviori quidem quam tempus celeritatis in pleno; ita ut inter tempus in pleno et tempus in vacuo possint infinita tempora intercedere, hoc quidem maiora, illo vero minora: et ita non est necessarium, motum in vacuo fieri in instanti, sed in tempore minori quam sit tempus motus in quovis pleno. Quare, ut uno verbo dicam, hoc totum est meum intentum: ut si sit grave a, cuius gravitas propria et naturalis sit 1000, huius in quovis medio pleno gravitas minor erit quam mille, et, ideo, celeritas sui motus in quocunque pleno minor erit quam mille. Ut si intelligamus medium, cuius tantae molis, quanta est moles a, gravitas sit tantum 1, erit in hoc medio gravitas a 999; quare etiam sua celeritas 999: et solum celeritas ipsius a erit mille in medio ubi illius gravitas sit mille; et hoc nullibi erit nisi in vacuo.

Haec est solutio argumenti Aristotelis: ex qua satis intelligi potest, quomodo ¹¹⁴⁸ in vacuo nullo pacto requiratur motus instantaneus. Cetera argumenta Aristotelis nullius sunt roboris et nullam habent necessitatem. Nam dicere, exempli gratia, in vacuo non magis huc quam illuc, aut sursum quam deorsum, movebitur mobile, quia non magis versus sursum quam deorsum cedit vacuum sed undique ¹¹⁴⁹ aequaliter, puerile est: nam hoc idem dicam de aëre; cum enim lapis est in aëre, quomodo magis cedit deorsum quam sursum, aut sinistrorsum quam dextrorsum ¹¹⁵⁰ , si aëris ubique ¹¹⁵¹ eadem est raritas? Hic diceret forsan aliquis, ex Aristotele, aërem gravare in sua regione, et ob id magis iuvare motum deorsum: sed has chimaerulas ¹¹⁵² capite sequenti examinabimus, ubi inquiremus utrum elementa in proprio loco gravitent. Similiter etiam cum dicunt, In vacuo non est neque sursum neque deorsum; quis hoc somniavit? Nonne, si vacuus esset aër ¹¹⁵³ , vacuum prope terram esset centro propinquius ¹¹⁵⁴ vacuo quod esset prope ignem? Argumentum etiam quod facit Aristoteles de proiectis, dicens: Proiecta in vacuo non possunt moveri, nam proiecta, cum extra manum moventis ¹¹⁵⁵ sunt, moventur ab aëre vel alio medio corporeo circumambiente et moto, quod quidem desideratur in vacuo; similiter nullius est momenti: ponit enim proiecta a medio vehi; quod quidem falsum esse, suo loco demonstrabimus. Falsum similiter quod addit argumento, de diversis mobilibus in eodem medio: ponit, enim, in pleno quidem graviora velocius ferri, quod fortius ¹¹⁵⁶ scindant medium, et hanc solam esse celeritatis causam; quae resistentia cum in vacuo non sit, inducit motus omnes futuros ¹¹⁵⁷ esse in vacuo in eodem tempore et eadem cum celeritate: quod quidem impossibile esse asserit. Et, primo, Aristoteles peccat in hoc, quod non ostendit quomodo absurdum sit, in vacuo diversa mobilia eadem celeritate moveri ¹¹⁵⁸ : sed magis peccat cum ponit, motuum ¹¹⁵⁹ celeritates diversorum mobilium ex eo pendere, quod graviora mobilia melius medium dividant ¹¹⁶⁰ . Non enim ex hoc spectanda est mobilium celeritas, ut supra demonstratum est, sed ex maiori excessu ¹¹⁶¹ gravitatis mobilium ¹¹⁶² super gravitatem medii; celeritates enim talium excessuum proportionem secuntur: sed diversorum mobilium gravitatis non idem est excessus super eiusdem medii gravitatem (essent enim mobilia aeque gravia): quare nec celeritates erunt aequales. Ut ¹¹⁶³ mobilis, cuius gravitas est 8, super gravitatem vacui, quae nulla est, excessus est 8 ¹¹⁶⁴ ; quare 8 erit celeritas: mobilis vero, cuius gravitas est 4, excessus super vacuum similiter erit 4; quare et illius celeritas 4. In vacuo demum eadem demonstratione utentes quam in pleno posuimus, demonstrabimus, mobilia specie eadem, mole vero ¹¹⁶⁵ diversa, eadem celeritate moveri in vacuo. Et de hoc satis.

Tanta ¹¹⁶⁶ est veritatis vis, ut doctissimi etiam viri et Peripatetici huius sententiae ¹¹⁶⁷ Aristotelis falsitatem cognoverint, quamvis eorum nullus commode ¹¹⁶⁸ Aristotelis argumenta diluere potuerit. Nec certe ullus unquam argumentum, quod 4° Phys. t. 71 et 72 scribitur, evertere ¹¹⁶⁹ potuit: nunquam enim adhuc illius fallacia observata fuit; et quamvis Scotus, D. Thomas, Philoponus ¹¹⁷⁰ et alii nonnulli contrariam Aristoteli teneant sententiam, attamen veritatem ¹¹⁷¹ fide potius quam vera demonstratione, aut quod Aristoteli responderint, sunt consecuti. Et, quidem, nullus sit qui speret posse se Aristoteli respondere et illius demonstrationem evertere, si eam proportionem concedat, quae ab eo ponitur inter velocitates eiusdem mobilis in diversis mediis. Ponit enim, ita se habere velocitatem ¹¹⁷² in uno medio ad velocitatem in alio, sicut subtilitas unius medii ad subtilitatem in altero: hanc nullus hucusque negare ausus est. Nec quicquam roboris habet quod a praedictis ¹¹⁷³ ponitur, nempe duplex illa resistentia mobilis ad motum: altera, scilicet, extrinseca, proveniens ex medii crassitie; altera vero intrinseca ¹¹⁷⁴ , ratione determinatae ¹¹⁷⁵ gravitatis mobilis. Hoc enim fictitium quiddam est: non enim, si accurate consideremus, differunt inter se istae duae ¹¹⁷⁶ resistentiae. Ut enim supra declaratum est, crassities seu (ut rectius loquar) gravitas medii facit levitatem mobilis, et medii levitas mobilis gravitatem praestat ¹¹⁷⁷ ; et idem mobile modo gravius modo levius est, prout in leviori vel graviori medio erit. Nihil igitur addunt novi, ponentes duplicem illam resistentiam; cum tantummodo augeatur et minuatur pro decremento vel incremento gravitatis vel crassitiei medii. Quod si rursus concedant, augeri et minui in ea proportione in qua gravitates medii variantur, frustra tentabunt Aristotelis argumentum evertere.

Caput...

in quo error Aristotelis manifestatur,

dicentis, aërem in proprio loco gravare.

Methodus ¹¹⁷⁸ quam in hoc tractatu servabimus ea erit, ut semper dicenda ex dictis pendeant; nec unquam (si licebit) declaranda supponam tanquam vera. Quam quidem methodum mathematici ¹¹⁷⁹ mei me docuere: nec satis quidem a philosophis ¹¹⁸⁰ quibusdam servatur, qui saepius ¹¹⁸¹ , physica elementa docentes, ea quae seu in libris De anima, seu in libris De caelo, quin et in Metaphysicis, tradita, supponunt; nec etiam hoc sufficit, sed etiam, docentes logicam ipsam, continue ea in ore habent quae in ultimis Aristotelis libris tradita sunt; ita ut, dum discipulos prima docent, supponunt eos omnia scire, doctrinamque tradunt non ex notioribus, verum ex ignotis simpliciter et inauditis. Accidit autem ita addiscentibus, ut nunquam quicquam per causas sciant, sed tantum ut fide credant, quia, nempe, hoc dixerit Aristoteles. Utrum deinde verum sit quod dixerit Aristoteles, pauci sunt qui quaerant: sufficit enim his, quod eo doctiores habebuntur, quo plures Aristotelis locos prae manibus habebunt. Sed, his omissis, ad propositum revertentes, videndum est, utrum aër ¹¹⁸² et aqua vere in propriis locis habeant gravitatem: haec enim quaestio, solis his quae tradita sunt suppositis, explicari potest.

Aristoteles, nedum aquam in proprio loco gravem esse, verum etiam aërem, scripsit 4 Caeli t. 30; dicens, in sua regione omnia gravitatem habere praeter ignem, aërem etiam ipsum. De aëre autem statim probat a signo; dicens, quia magis trahit uter inflatus quam non inflatus, signum igitur aërem in utre habere gravitatem. Hoc idem repetit t. 39 eiusdem libri, inquiens, in sua regione unumquodque eorum, quae gravitatem habent ac levitatem, gravitatem habere: ponit enim, aërem et aquam in relatione quidem ad alia elementa nunc esse gravia nunc quidem levia, sed absolute et in propria regione gravare tantum. Quidam vero recentiores philosophi ¹¹⁸³ , animadvertentes id quod Aristoteles scripsit 3° Caeli t. 28, nempe aërem utrumque motum iuvare; quatenus, scilicet, levis est, iuvare motum sursum, quatenus vero gravis, motum deorsum; aliud argumentum efformarunt, dicentes: Aër magis iuvat motum deorsum, quia facilius fert gravia deorsum, quam motum sursum, quia difficilius fert levia sursum. Concluserunt, aërem necessario gravem esse censendum in regione sua. Hoc tamen omnino falsum esse, mox innotescet: et demonstrabimus, aërem et aquam in regione sua nec gravia esse nec levia ¹¹⁸⁴ ; demonstrabimus deinde, recentiorum philosophorum argumentum oppositum simpliciter concludere ei quod ipsi probare contendunt, nec potuisse illos argumentum invenire quod magis sibi contrariaretur.

Et, primo quidem, omnino inexcogitabile videtur, quomodo aër et aqua in proprio loco gravitent. Nanque aliqua pars aquae ¹¹⁸⁵ in loco aëris, hoc est in aëre ipso, gravitat, et deorsum quidem fertur quia gravitat; sed quis unquam mente concipiet, aliquam partem aquae in aqua descendere? Si enim descendet, quando erit in fundo, necesse est ut locus, in quem intrat, iam evacuetur ab alia aqua, quae coacta erit ascendere unde alia recessit; et sic iam illa pars aquae erit levis in proprio loco. 2°, Si aliqua pars aquae in aqua est gravis, vocetur, verbigratia, a: quia ergo pars aquae a in aqua est gravis et descendit, si accipiamus aliam aquae partem quae in mole aequetur ipsi a, necessario a gravior erit quam altera pars aquae; et sic aqua erit gravior quam aqua: quo quid ineptius excogitari potest? Ad exemplum autem Aristotelis de utre, respondeo quod, si foramen utris ¹¹⁸⁶ seu follis inflati sit apertum, ita ut aër, non vi compressus, in folle detineatur, non erit iam uter gravior quam non inflatus: sed si vi multum aëris in eo comprimatur, cui dubium erit quod gravitabit? Aër enim tunc, vi constrictus, gravior est aëre libero et vaganti: sicut si uter lana repleatur, deinde vero alterum tantum lanae superaddatur, vi comprimendo, quis anceps erit an gravior fiet uter necne? Pari ratione, si, verbigratia, intelligamus partem aëris in qua sit a, aliam vero partem aëris, in qua b, esse ¹¹⁸⁷ duplam ipsius a, tunc aër b in loco ignis, verbigratia, duplo ¹¹⁸⁸ gravior erit aëre a: si ergo ¹¹⁸⁹ aër b vi coarctetur, ita ut fiat moles aequalis moli a, erit iam aër b quodammodo alia aëris species gravior quam sit aër a; quid ergo mirum si aër b in aëre, cuius pars est a, descendet? Patet igitur ratio cur uter inflatus magis trahat: aër enim qui in ipso est, gravior est aëre circumfuso, eo quod in angustiori loco plus eiusdem materiae compraehendat. Manifestum itaque est, nullius esse roboris argumentum de utre; cum, volens ostendere aërem liberum et rarum, ut sua est natura, gravem esse, in exemplo deinde assumat aërem vi condensatum et in angusto loco compressum.

Ad argumentum deinde dicentium, aërem ideo esse gravem quia facilius fert gravia deorsum quam levia sursum, respondeo, formam istam argumentandi esse ex diametro contra argumentantes. Si enim illud medium grave existimandum est quod facilius fert gravia deorsum, aër erit iam gravior aqua: ea enim quae deorsum feruntur, facilius et citius descendunt in aëre quam in aqua. Adde: supra demonstratum est, gravia quae in aqua deorsum feruntur, tanta vi descendere, quanto eorum gravitas gravitatem molis aquae eorum moli aequalis excedit. Si ergo fuerit corpus aliquod grave, ut, verbigratia, corpus in quo a, cuius gravitas sit 8, gravitas autem aquae b, cuius moles aequetur ¹¹⁹⁰ moli a, sit 4, tunc solidum a in aqua feretur deorsum ita celeriter et facile ut 4; si vero deinde idem corpus ferretur per medium levius quam medium b, ita ut talis medii tanta moles quanta est moles ipsius b haberet tantum 3 gravitatis, tunc a in tali medio moveretur ita celeriter et facile ut 5. Patet, igitur, quod idem corpus a facilius deorsum movetur per media leviora quam per graviora: ergo necessario sequitur, quod medium eo levius existimandum sit, quo gravia in eo facilius deorsum moventur ¹¹⁹¹ ; cuius contrarium ipsi affirmabant. Cui igitur iam non apertissimum est quod, si aër adhuc levior esset, gravia deorsum facilius moverentur? Quod si sic est, sequitur, aërem ideo levem esse, quia gravia in eo facile deorsum feruntur. Opposito autem modo de levibus ratiocinantes, colligemus, medium illud grave existimandum esse, per quod levia facilius sursum feruntur; illud vero leve, per quod levia difficile ascendunt. Ergo, tum quia in aëre levia difficilius sursum moventur, tum quia in eodem gravia facilius deorsum moventur, sequitur aërem magis levem quam gravem esse existimandum. Sed hoc solum concludam eorum modo argumentando; qui si bonus erit, videant ipsi quid colligatur: attamen dixerim ego, elementa in propriis locis nec gravia esse nec levia. Si enim pars aquae in aqua esset gravis, descenderet; quod non facit: et si gravis esset, quomodo, in profundo natantes, vastissimae ¹¹⁹² molis aquae gravitatem non sentiremus? Ad hoc responderent ipsi: quia partes aquae super partes haerent ¹¹⁹³ , sicut lateres muri super lateribus incumbunt; unde, dicunt, accidit, murem existentem in muro lapidum pondus non sentire ¹¹⁹⁴ . Quae quidem comparatio non satis accommodata ¹¹⁹⁵ videtur. Primo, enim, comparant aquam fluidam et labentem muro solido et consistenti: deinde, quod lateres non super humerum ¹¹⁹⁶ muris consistant, signum est, quod, ablato mure, remanet foramen ubi erat mus, nec in eo lateres labuntur; sed, ablato pisce aut homine ex aqua, non remanet locus ubi erat homo, sed statim ab aqua repletur; quod indicat, aquam inniti super pisces aut homines. Quomodo ergo solvetur problema, nisi dicamus, aquam et aërem non gravare in suis regionibus? Ita ut talis sit tota problematis explicatio: tunc dicimur gravari, quando super nos incumbit aliquod pondus quod sua gravitate deorsum tendit, nobis autem opus est nostra vi resistere ne amplius descendat; illud autem resistere est quod gravari appellamus. At quia demonstratum est, corpora quae sunt aqua graviora, in aquam demissa, descendere, et esse in aqua gravia quidem, attamen minus gravia quam in aëre; leviora autem aqua ostensa sunt, vi sub aquam impulsa, sursum attolli; quae vero sunt aquae gravia ac aqua neque sursum ¹¹⁹⁷ neque deorsum ferri, sed ibi manere ubi collocantur, dummodo tota fuerint sub aqua; ex hoc patet quod si nobis sub aqua existentibus incumbat aliquod corpus aqua gravius, ut lapis, gravabimur quidem, sed minus quam si essemus in aëre, quia lapis in aqua est minus gravis quam in aëre: si vero nobis in aqua manentibus corpus aqua levius alligatum fuerit, nedum gravabimur, verum etiam attollemur ab illo; ut patet in natantibus cum cucurbita, cum alioquin, in aëre existentes, a cucurbita gravemur; et hoc quia cucurbita in aquam impulsa fertur sursum et allevat, in aëre vero fertur deorsum et gravat: si autem in aqua existentibus aliquod corpus aeque grave ac aqua nobis immineat, neque ab illo gravabimur neque attollemur, quia neque sursus neque deorsum tale corpus feretur. At non invenitur corpus aliquod, quod magis aquae in gravitate aequetur quam ipsamet aqua: non ergo mirum est si aqua in aqua non descendat et gravet; diximus enim, gravari esse resistere nostra vi corpori deorsum petenti. Et eadem prorsus ratio de aëre habenda est.

Haec, meo iudicio, quicquid dicant alii, est vera problematis explicatio. Cum igitur nec aër nec aqua deorsum in suis regionibus ferantur ¹¹⁹⁸ neque sursum, ne dicantur esse aut gravia aut levia; cum gravia definiantur ea esse quae deorsum feruntur, levia vero quae sursum. Et cum de motu loquimur, semper non solum gravitatis aut levitatis mobilis, sed gravitatis et levitatis medii etiam, ratio est habenda: non grave deorsum movebitur, nisi medio per quod ferri debet gravius erit; nec leve ascendet, nisi levius fuerit medio per quod movetur. Quod cum ita sit, aqua non descendet in aqua, cum aqua gravior non sit quam aqua; et cum non descendat, non erit aqua in aqua gravis. Quod si, non ut consideravit Aristoteles, sed per se, simpliciter et absolute, nullo habito respectu, quaeratur utrum elementa gravia sint, respondemus, nedum aquam aut terram aut aërem, verum etiam et ignem, et si quid igne sit levius, gravitatem habere, et demum omnia quae cum substantia quantitatem et materiam habeant coniunctam. Sed quia hic contrariatur Aristoteles, ponens simpliciter leve quod nullibi gravat, examinandam iudicamus esse talem opinionem: quod quidem capite sequenti exequemur ¹¹⁹⁹ .

Caput...

in quo contra Aristotelem concluditur, non esse ponendum simpliciter leve et simpliciter grave: quae etiam si darentur, non erunt terra et ignis, ut ipse credidit.

Grave et leve non nisi in comparatione ad minus gravia vel levia considerarunt qui ante Aristotelem; et hoc quidem, meo iudicio, iure optimo: Aristoteles autem, 4 Caeli, opinionem antiquorum confutare nititur, suamque huic contrariam confirmare. Nos autem, antiquorum in hoc opinionem secuturi, tum Aristotelis confutationes, tum etiam suas confirmationes, examinabimus, confutationes quidem confirmando, confirmationes vero confutando; et hoc quidem tunc praestabimus, cum Aristotelis opinionem exposuerimus.

Definit itaque, primo, Aristoteles, illud se appellare gravissimum simpliciter, quod omnibus substat et semper ad medium fertur; levissimum vero appellat id, quod omnibus supereminet et semper sursum, nunquam vero deorsum, movetur: et haec scribit 4 Caeli t. 26 et 31. Dicit deinde, gravissimum esse terram, et levissimum ignem: et hoc t. 32 et aliis in locis. Tunc, contra ponentes in igne aliquam gravitatem, sic argumentatur: Si ignis habet aliquam gravitatem, ergo alicui substabit; at hoc non videtur; ergo [etc.] ¹²⁰⁰ . Argumentum hoc non concludit. Nam ad hoc ut aliquid alicui immineat, sufficit ut eo, cui imminere debet, sit minus grave; non autem necesse est, ut omni gravitate careat: sicut ad hoc ut lignum aquae supernatet, non requiritur necessario ut lignum omni gravitate careat, sed satis est ut sit aqua minus grave; et ita, pari ratione, ad hoc ut ignis aëri immineat, sat est quod aëre sit minus gravis, nec est necessarium ut omni careat gravitate. Quare patet, nullam necessitatem habere hoc argumentum.

Argumentatur etiam hoc pacto: Si ignis aliquam habet gravitatem, ergo multus ignis gravior erit pauco; quare tardius ascendet multum ignis in aëre quam paucum: et ita, si terra habet aliquam levitatem, multum terrae, quod plus habebit levitatis, tardius descendet quam pauca terra: experientia tamen contrarium ostendit; videmus enim, multum ignem citius ascendere pauco, sicut et multam terram citius descendere: signum ergo est quod in igne est tantum levitas; et cum in multo igne plus sit levitatis, citius ascendit. Hoc quoque argumentum infirmum est. Et, primo quidem, limites transcendit ¹²⁰¹ . Non enim valet consequentia ¹²⁰² , Si ignis absolute consideratus habet gravitatem, ergo multum ignis in aëre gravius erit pauco: ignis enim in aëre nullam habet gravitatem. Sed ita est argumentandum: Ignis, absolute consideratus, habet gravitatem: ergo ubi ignis habet gravitatem, multum ignis multam habebit gravitatem; et ubi ignis habet levitatem, ut in aëre, ibi multum ignis multam habebit levitatem, paucum vero paucam. Constat ergo Aristotelis fallacia in argumentando. 2°: falsum est quod asserit, nempe, multum ignem citius ascendere quam paucum, aut multam terram velocius descendere quam paucam; ut supra demonstravimus.

3°, argumentatur: Si ignis habet gravitatem, erit iam multum ignis pauco aëre gravius: quod quidem pro absurdo maximo ponit, sicut si dicamus, Si terra habet levitatem aliquam, erit aliqua pars terrae levior aliqua parte aquae: quod falsum inquit esse, quia videmus, quamlibet terrae particulam sub aquam descendere, et quamlibet ignis portionem in aëre sursum ferri. Quod quidem argumentum magis infirmum est ceteris omnibus: quis autem ¹²⁰³ est adeo stultus, ut non credat, multum aquae gravius esse pauca terra, et multum aëris pauca aqua, et multum ignis pauco aëre? Neque obstat quod dicit Aristoteles: Videmus terram in aqua descendere. Nam, cum haec dicit, iam non sibi constat: nanque, cum dicimus aquam habere gravitatem, non dicimus habere gravitatem in sua regione, ubi, ut demonstratum est, nullam habet aut gravitatem aut levitatem ¹²⁰⁴ ; sed dicimus, multum aquae gravius esse pauca terra in loco ubi aqua etiam habeat gravitatem, ut, verbigratia, in aëre. Nam si valeret illa argumentandi ratio, concluderem etiam, paucum plumbi gravius esse maxima trabe, quia plumbum in aqua descendit, trabes autem non: at verum quidem est quod plumbi paucum gravius est trabe in loco ubi trabes nullam habeat gravitatem; sed si volumus loqui de gravitate trabis, oportet ponere trabem in loco ubi habeat gravitatem. Similiter, cum dicit, Quaelibet particula aquae in aëre descendit, ergo quantumvis aëris levius est particula aquae; hoc verum erit in eo loco, ubi aër nullam habet gravitatem, aqua vero habet: sed hoc non erit loqui de gravitate absoluta, ut loquimur. Nanque, si ponamus multum aëris in loco ubi aër etiam gravet, ut in igne aut vacuo, ibi profecto gravius erit pauca aqua. Neque concludatur, Ergo velocius descendet: qui enim ita concluderet, ostenderet se ignorare, unde tarditas et velocitas motus oriatur. Non enim valet, Saccus stuppa confertus in aëre gravior est pauco plumbo, ergo in aëre citius descendet: stultus enim non haec diceret, nec ullus qui quae supra dicta sunt intellexerit. Sic de igne est ratiocinandum: multum enim ignis gravius erit pauco aëre; non tamen in aëre, ubi ignis nullam habet gravitatem, sed in alio loco ubi ignis quoque gravet, ut esset in vacuo aut in medio leviori quam sit ignis.

Hic mehercule taedet ¹²⁰⁵ et pudet ¹²⁰⁶ , quod verba sint iactanda ad solvenda tam puerilia argumenta tanquam crassas subtilitates, quales illae ¹²⁰⁷ sunt, quas, contra antiquos, toto 4 Caeli inculcat Aristoteles: nihil enim roboris, nihil doctrinae, nihil concinnitatis aut venustatis habentes, et quarum fallacias quisque cognoscet, si quae supra dicta sunt intellexerit. Sicut cum dicit, Videmus terram omnibus substare, ignem ¹²⁰⁸ vero superesse; oportet, Aristotelem habuisse Lyncei ¹²⁰⁹ oculos, si vidit utrum in visceribus terrae sit aliquid quod terra sit gravius necne, et an super ignem sit aliquod corpus levius. Sed, absque Lyncei ¹²¹⁰ oculis, caecus videre poterit, multa esse terra graviora, ut metalla omnia, quibus liquefactis terra supernatat, ut ipsi argento, quod dicunt, vivo; et non solum est argento vivo levior terra, sed plusquam decies levior. Quomodo ergo metalla accipiunt gravitatem suam a terra, si quam terra longe sunt graviora; cum tamen, si ex terra, aqua, aëre et igne constarent, longe leviora esse deberent quam sola terra? Patet ergo, multa esse terra graviora. Cum ergo dicit: Duo sunt loca contraria, medium et extremum, accipiens pro extremo lunae concavum; ergo oportet, quae in illis sunt esse contraria; quod non erit, nisi terra ponatur omni carens levitate, ignis vero ab omni gravitate vacuus: argumentum nullam habet necessitatem; quam etiam si haberet, centro contrariatur etiam eodem pacto concavum aquae et aëris, sicut concavum ; nec, tamen, quae sub concavo aëris sunt, omni carent gravitate ¹²¹¹ . Quod vero de levitate ignis scribit, dicens quod, si submoveatur aër, ignis non descendet, ut aër submota aqua, demonstratione indiget: quod non probavit Aristoteles, nisi dicas quod dixerit, Sicut terra non ascendit in medicorum cucurbitulis quia gravissima est, ita ignis non descendet quia levissimus. Sed non valet proportio: quia, non quod terra sit gravissima ¹²¹² , non ascendit, sed quia non est fluida; nam neque ¹²¹³ lignum ascenderet, cum tamen sit levius aqua, quae ascendit; ascenderet tamen mercurius, quamvis terra gravior, quia fluidus; et sic ignis descenderet, quia non solidus sed fluens habetur ¹²¹⁴ . Sed, amabo, si elementa, ut ipse ¹²¹⁵ vult, ad invicem transmutantur, quando ex aëre gravi fit ignis, quid de illa gravitate aëris? An forsan adnihilatur? Sed, si adnihilatur, cum rursus ex igne fit terra, unde manat gravitas? an forsan gravitas, quae aliquid est, ex non gravitate, quae nihil est? Sed amplius: si ignis omni caret gravitate, ergo et omni densitate carebit; densum enim consequitur grave: sed quod omni caret densitate, id vacuum est: ergo ignis vacuum. At quid absurdius? Sed, demum, quomodo unquam poterit quis ignem imaginari substantiam cum quantitate coniunctam gravitatem non habere? Hoc profecto omnino irrationabile videtur. Et cum dicimus, terram omnium esse gravissimam, quia omnibus substat, cogimur, velimus nolimus, dicere terram ideo esse gravissimam, respectu aliorum, quia omnibus substat. Substare enim omnibus et omnium esse gravissimum, idem sunt: et hoc patet; quia, si gravissimum est quod omnibus substat, si omnia auferantur, non poterit amplius gravissimum dici, cum nulli substet. Dicitur ergo gravissimum in comparatione minus gravium, quibus substat; et idem de levitate ignis dicendum est. Concludimus igitur, non posse aliquid dici gravissimum nulla habita ratione aliorum quae minus gravia sunt, cum gravissimum non possit definiri aut mente concipi nisi quatenus minus gravibus substat; et, ita, levissimum non posse dici nisi in comparatione ad minus levia, quibus supereminet; nec corpus levissimum esse id quod omni careat gravitate, hoc enim est vacuum non corpus aliquod, sed id quod illis, quae habent gravitatem, est minus grave. Nec tamen dixerim, non inveniri in rerum natura aliquid ¹²¹⁶ quod omnibus sit gravius, et aliquid quod omnibus sit levius, hoc est minus grave; sed solum haec duo negamus, id posse considerari absolute, non habita ratione aliorum, et, etiam, talia esse terram et ignem. Multa enim sunt graviora quam terra, quae quidem videmus: et possent etiam esse aliqua igne leviora, ut exhalationes ¹²¹⁷ aliquae, quae super ignem advolarent; sed hoc non possumus audacter affirmare, quia super ignem non fuimus. Quod si ignis est, non tamen omni caret gravitate; hoc enim vacui est: quare etiam ignis, si submoveatur aër, descendet, si vacuum sub ipso relinquatur aut aliquod aliud medium igne levius. Descendunt enim omnia, dummodo medio, per quod ferri debent, sint graviora, ut supra est ostensum; nec repugnat in vacuo fieri motus, ut similiter declaratum est. At nunc non descendit ignis, quia aër, per quem ferri deberet, gravior est ipso igne, et non quia ignis nullam habeat gravitatem: sicut nec aër descendit, quia ferri deberet per aquam, quae, cum sit aëre gravior, hoc non patitur; nec, quia aër non descendit, dicendum est aërem omni carere gravitate.

Caput...

in quo contra Aristotelem et Themistium ¹²¹⁸ demonstratur,

in vacuo solum differentias ¹²¹⁹ gravitatum et motuum exacte discerni posse.

Themistius ¹²²⁰ , Aristotelis opinionem sequens, de vacuo loquendo, haec super t. 74, 4i Phys., scribit: Cum vacuum itaque cedat aequaliter, sed neque cedat quidem (cum enim id nihil sit, subtilis hominis est putare vacuum cedere), ita fit ut differentiae gravium et levium, idest rerum momenta, tollantur, et, quod sequens est, omnibus quae moventur aequalis et indiscriminata velocitas accidat. Quanto autem haec falsa sint mox innotescet, cum, quomodo in solo vacuo possint vera gravitatum et motuum discrimina dari, et in pleno nullo haec inveniri posse, declaraverimus.

Et, primo quidem, sicut inter philosophos variae de eadem re opiniones certo testantur testimonio, eorum nullum veritatem detegisse (si enim semel ab aliquo inventa ¹²²¹ esset, statim et nulla controversia, quae sua est natura, omnibus se videri et cognosci permisisset), sic etiam in mediis variis variae eorundem corporum gravitatum proportiones, a nullo medio vera et naturalia pondera determinari, firmo arguunt argumento. Quo enim medium gravius est, eo maior inter gravitates solidorum est differentia. Quod quidem ut adhuc facilius intelligatur, ea, quae supra demonstrata sunt, in memoriam ¹²²² reducantur. Demonstratum est itaque ¹²²³ , verbigratia, solidum aliquod minus in aqua quam in aëre ponderare, quanta est gravitas in aëre molis aquae aequalis solidi moli: ut si sint duo ¹²²⁴ solida a, b, gravitas autem a in aëre sit 8, gravitas vero b sit 6, sint autem eorum moles aequales, quibus etiam aequetur ¹²²⁵ moles aquae c, cuius gravitas in aëre sit 3, patet, ex supra dictis, gravitatem a in aqua esse 5, b vero gravitatem esse 3. In aqua igitur gravitatum a, b maius erit discrimen, sicut inter 5 et 3 maior est ¹²²⁶ discrepantia quam inter 8 et 6. Quod si, rursus, fuerit aliquod medium gravius aqua, cuius gravitas sit, verbigratia, 5, erit in eo gravitas a 3, gravitas vero b 1. Et sic patet quomodo in mediis gravioribus maior semper est differentia gravitatum; in aëre enim gravitas a est sesquitertia ¹²²⁷ gravitatis b; in aqua, superbipartiens tertias; in alio medio graviori, tripla: at quis dicet, magis in hoc quam in illo medio veras solidorum esse gravitates? Nullus profecto: sed verius certe dicetur, in nullo eorum pondera exacta haberi. Cum enim in omni medio gravium gravitates tantum imminuantur, quantum illius medii pars aequalis moli solidi ponderaret, patet quod in illo solum medio integrae et non imminutae solidorum habebuntur gravitates, cuius nulla fuerit gravitas: tale autem solum est vacuum. In caeteris autem mediis gravia tantum solummodo ponderant et gravant, quantum graviora sunt mediis illis (si enim essent aeque gravia ac medium aliquod, in tali medio nihil gravarent): quod cum in vacuo, similiter, tantum gravent solida, quantum eorum gravitate vacui gravitatem superant; superent secundum totam suam gravitatem, cum vacui nulla sit gravitas; sequitur quidem, necessario, in vacuo solo posse veras gravium gravitates haberi: quare et talium gravitatum discrimina ibi solum erunt.

Similiter etiam de motuum velocitatibus et earum proportionibus est sentiendum. Quis enim eas in mediis plenis inveniri dicet, si alia est mobilis velocitas in hoc medio, alia in illo, alia in alio, et in alio etiam nulla, ut ligni in aqua? estque, similiter, alia proportio velocitatum in aëre, alia in aqua, alia in medio graviori, alia in medio leviori; ut facile quisque ex his, quae supra scripta sunt, invenire poterit? Ac demum, cum velocitates mobilium, in medio in quo moventur, gravitates; et proportiones consequenter velocitatum, gravitatum proportiones, sequantur; haecque non nisi in vacuo dari contingat; in vacuo etiam solo velocitatum discrimina vera et naturalia contingere, dubio procul est asserendum.