I.
1. In una recente Memoria pubblicata nel «Journal de Mathématiques» sono ritornato sopra mie precedenti ricerche ed ho esaminato i fenomeni ereditari dal punto di vista energetico.
Mi permetto ora di aggiungere alcune osservazioni generali sui detti fenomeni portando qualche nuovo contributo al loro studio.
2. Supponiamo che lo stato attuale d'un parametro ρ dipenda dalla storia di un parametro q e la dipendenza sia lineare. La funzione q(t) (t denotando il tempo) individuerà la storia di q ossia la storia primitiva, mentre la funzione ρ(t) individuerà la storia di ρ ossia la storia ereditaria.
Ammetteremo ρ e q funzioni finite e continue e se vorremo considerare la eredità completa scriveremo nel caso del ciclo chiuso
| (1) |
|
Il coefficiente di eredità F(t) sarà una funzione finita e continua e, se q è limitata, lo supporremo, per t = ∞, infinitesimo di ordine superiore ad un numero maggiore dell'unità.
a sarà una funzione continua compresa fra due numeri positivi che potremo supporre sempre ridotta eguale all'unità.
3. Se lo stato del parametro q anteriore ad un certo istante t 0 non influisce sul valore di ρ scriveremo la (1)
| (A) |
|
Questa equazione integrale può risolversi e avremo
| (B) |
|
ove G è il nucleo coniugato di F, cioè
| (2) |
|
In questo caso la eredità si dice posteriore all'istante t 0 e, come la storia primitiva posteriore a t 0 individua quella ereditaria, così, reciprocamente, questa ultima individua la storia primitiva pure posteriore a t 0.
L'equazione (A) corrisponderà all'eredità diretta e la (B) a quella inversa.
La eredità sarà ritardatrice o acceleratrice secondoché il nucleo F è negativo o positivo.
Abbiamo subito i teoremi:
Teorema I. – Se l'eredità diretta è ritardatrice quella inversa è acceleratrice. Infatti dalla (2) segue che, se F è negativa, G è positiva.
Teorema II. – Se l'eredità diretta è acceleratrice quella inversa non potrà essere anch'essa acceleratrice.
Infatti dalla (2) segue:
e per conseguenza
relazione incompatibile coll'ipotesi che G ed F siano ambedue positive.
Dalle formule precedenti segue:
| (3) |
|
essendo p intero e positivo.
Quindi se vale la: (3) F >0, e inoltre
| (4) |
|
G sarà negativo. Dunque:
Teorema III. – Se saranno soddisfatte le relazioni (3) e (4), l'eredità diretta sarà acceleratrice e quella inversa sarà ritardatrice.
4. Se il coefficiente di eredità F (t) si annulla per t ≥ T0, T0 si dirà la durata dell'eredità diretta.
Avremo allora che la equazione (1) diverrà
| (C) |
|
In questo caso la storia ereditaria non individua la storia primitiva, supponendo che non si tratti di eredità posteriore ad un certo istante.
Infatti prendiamo nella equazione precedente q(t) = e α t con α costante positiva o negativa.
Avremo
Se F(τ) è negativo si potrà sempre scegliere α in modo che
onde si avrà ρ(t) = 0 il che dimostra che la (C), nella quale si considera q(t) come incognita, ha infinite soluzioni della forma
ove C è una costante arbitraria.
Nel caso in cui la durata dell'eredità è ∞, cioè la eredità è completa, il sig. Kostitzin aveva fatto analoga osservazione (cfr. § 5).
Ma nella citata Memoria del «Journal de Mathématiques» ho enunciato il teorema che stabilisce la determinazione dell'eredità primitiva (nel caso della eredità limitata) nel modo seguente:
Nel caso della eredità diretta di durata limitata, nota la storia primitiva in un intervallo di tempo eguale alla durata dell'eredità e nota la storia ereditaria successiva, potrà determinarsi pure, durante lo stesso tempo, la storia primitiva.
5. Se la eredità diretta ha una durata limitata non viene come conseguenza che quella inversa abbia pure una durata limitata. Può inoltre il coefficiente d'eredità F(t) tendere a zero per t crescente indefinitamente, senza che il nucleo coniugato G(t) tenda analogamente a zero. Così, per esempio, se
F = – e –t
sarà
G = 1.
Per rapporto alla decrescenza dei nuclei daremo qui alcuni teoremi. Supponiamo, nella (A), F negativo ed eguale a – f e poniamo g in luogo di G. In virtù della (2) sarà
| (2') |
|
Teorema IV. – Se
| (5) | f(t) = e –φ(0) t φ(t), |
ove φ(t) è una funzione positiva decrescente, g(t) sarà pure una funzione positiva decrescente.
Infatti la (2') può scriversi
Da cui segue
a cagione della proprietà delle funzioni permutabili appartenenti al ciclo chiuso. Quindi
o anche
giacché f(0) = g(0).
Risolvendo questa equazione integrale rispetto a g'(t) otterremo
| (6) |
|
Dalla (5) segue f(0) = φ(0), e
Siccome φ(t) è decrescente e quindi φ'(t) < 0, sarà
f'(t) + f(0) f(t) < 0,
onde, per la (6), g'(t) < 0; il che dimostra il teorema.
Lemma. Se
f(t) = e mt f 1(t)
e g 1 è il nucleo coniugato di – f 1 sarà
g(t) = e mt g 1(t).
Infatti
|
|
, |
|
Teorema V. – Se |φ (t)| < λ,
f(t) = e –(λ+ε) t φ(t)
λ ed ε essendo due costanti positive, avremo:
Infatti, per il lemma precedente sarà
g(t) = e – (λ+ε) t γ(t),
ove γ è il nucleo coniugato di – φ. Ora per i principii delle equazioni integrali
|γ(t)| < λe λ t,
quindi
|g(t)| < λe – ε t,
il che dimostra il teorema.
Se f(t) è positivo resta implicitamente inteso che anche φ sarà positivo. Ma il teorema precedente è valido indipendentemente dal segno di f(t).
Combinando i due teoremi IV e V si avrà la proposizione:
Teorema VI. – Se
| (7) | f(t) = e –(φ(0)+ε) t φ(t) |
ove φ è una funzione positiva decrescente ed ε è una costante positiva, la funzione coniugata g(t) sarà una funzione positiva decrescente che tenderà a zero per t = ∞.
I teoremi precedenti provano la esistenza di coefficienti di eredità diretta ed inversa che sono due nuclei coniugati ambedue decrescenti in valore assoluto e tendenti a zero.
6. Se supponiamo
| (8) | f(t) = e – (λ+ε) t φ(t) | , | g(t) = e – (λ+ε) t γ(t) |
con |φ(t)| < λ > 0 , ε > 0 e costante (ved. teor. V), avremo
|f(t)| < λe – ( λ + ε ) t , |g(t)| < λe – ε t
quindi
| (9) |
|
, |
|
L'equazione integrale
| (A') |
|
(t > t 0) |
si inverte mediante la formula
| (B') |
|
(t > t 0) |
e, in questo caso, se il parametro q è limitato, cioè
|q| < M,
sarà pure limitato il parametro ρ, e avremo
|ρ| < 2 M;
e se
|ρ| < N,
dovrà essere
Supponendo ρ e q limitate le due formule inverse (A') e (B') ove f e g sono date dalle (8) valgono anche per t 0 = – ∞; vale a dire, se ρ(t) è limitata, l'equazione integrale
| (A") |
|
viene risoluta dalla funzione
| (B") |
|
la quale è limitata. Ciò si prova coll'ordinario procedimento.
Dimostriamo ora che, se poniamo la condizione che la soluzione della (A") debba essere limitata, questa è unica.
Infatti, supponiamo che debba essere
|q| < M,
e che sia ρ = 0.
Dalla (A") segue
quindi, in virtù della (9),
e perciò
n essendo un intero positivo qualunque. Dunque |q(t)| deve essere inferiore a qualunque numero positivo e, per conseguenza, nel caso di ρ = 0, non v'è altra soluzione limitata che q = 0.
Le soluzioni della (A") della forma
q(t) = e α t,
secondo il segno di α, divengono ∞ per t = – ∞ oppure per t = ∞ e non sono per conseguenza limitate (cfr. § .3).
