II.

7. Nella Memoria precedentemente citata ho studiato la questione energetica nel caso della eredità lineare per un sistema dinamico con un sol grado di libertà ammettendo la durata della eredità limitata. Cerchiamo ora di togliere questa condizione e supporre la eredità posteriore ad un certo istante iniziale.

Evidentemente se la eredità è limitata e consideriamo il fenomeno dopo decorso un periodo di tempo superiore alla durata dell'eredità, sarà lecito trascurare il fatto che l'eredità è posteriore all'istante iniziale. Quindi le formule che troveremo comprenderanno quelle già ottenute.

8. Prendiamo l'istante iniziale come origine dei tempi. Allora l'equazione dinamica da cui partiremo sarà ⁷

(D)

o anche

(D')

con

f(t) > 0

,

f'(t) < 0

Inoltre dovremo supporre ⁸

comunque sia t > 0.

La (D) potrà scriversi

e, moltiplicando ambo i membri per q' (t),

Ma, per mezzo di una integrazione per parti, si trova

Avremo dunque

(E)

I termini

,

sono sempre positivi, dunque: il lavoro eseguito dalle forze esterne, durante un intervallo qualunque di tempo, supera sempre la variazione subita nello stesso intervallo di tempo dal funzionale positivo

9. Se il moto è spontaneo (ossia Q = 0), il precedente funzionale va continuamente diminuendo.

Di qui segue che il moto spontaneo è limitato e, quando gli spostamenti sono nulli, l'equilibrio è stabile.

Dalla (D) segue, supposto Q = 0,

o anche

dunque

Ne viene

da cui si ricava con facile dimostrazione che q(t) oscillerà indefinitamente attorno al valore zero, o tenderà in media assintoticamente verso zero.

10. Nel caso in cui

(10)

f(t) = 0

per

t ≥ T0

preso t > T0 si ricade nelle formole ottenute nel caso della eredità di durata limitata a T0 ⁹ . La differenza essenziale che passa fra il caso (10) e il caso nel quale f(t) non si annulla per t ≥ T0 consiste in questo: che nel primo caso è possibile ritornare dopo un certo tempo allo stato iniziale, anche dal punto di vista ereditario, mentre ciò non è possibile nell'altro caso.

11. È facile ottenere un'altra formula del tipo (E) nel modo seguente:

Supposto b = 1, poniamo

da cui segue

onde la (D) si scriverà

q"(t) + ρ(t)=Q(t).

Moltiplicando ambo i membri per q' avremo

q'q" + q'ρ = Qq'

ossia

(11)

Ora

quindi

(12)

Sommando membro a membro le equazioni (11) e (12) si trova

(F)

Se g' < 0 e g > 0 i termini

,

sono ambedue positivi, e quindi il lavoro eseguito dalle forze esterne, in un dato intervallo di tempo, supera la variazione subita dal funzionale positivo

nello stesso intervallo di tempo.

La formula (F), che può anche scriversi

(F')

è quella che volevamo ottenere. Se la eredità inversa avesse una durata limitata T0, cioè se fosse g(t) = 0 per t ≥ T0, l'ultimo termine del primo membro della (F') si annullerebbe qualora fosse t > T0 e questa formula diverrebbe: