Qua ratione harum linearum beneficio plures arithmeticas regulas solvere valeamus. caput v.

Poterit harum linearum auxilio quilibet licet numarare vix sciat, ut ut hoc impossibile videri possit, plures arithmeticas regulas resolvere. Verum ut melius explicare possimus, quae ad hanc operationem pertinent, prius notandum erit quod quotiescunque a centro instrumenti secundum eius longitudinem necessum erit aliquas istius lineae partes assumere, ut in exemplo si posito uno pede circini in centro A figurae cap. i necessum esset alium extendere ad punctum P, semper in hoc casu hanc lineam scalam immobilem vocabimus ¹²¹⁶ Harum itaque, ut diximus linearum auxilio facillimum est omnes quaestiones arithmeticas, quae per regulam proportionum solvuntur determinare; & primum auream regulam vulgariter de tre dictam facili negotio absolvemus, si firmato uno pede vulgaris circini in centro instrumenti extenso alio pede per longitudinem scalae immobilis, usque ad notam secundi numeri in proportione positi accipiemus distantiam, quam per transversum applicabimus punctis primi numeri, & immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta tertij numeri, quam mensurabimus supra scalam immobilem a centro instrumenti, & videbimus quem numerum abscindat. Ut si E. g. sit quaestio 100 dant 60, quot dabunt 80 hi numeri positi in regula proportionum sic se habent: 100, 60, 80. Vulgari itaque circino accipiemus distantiam ex scala immobili 60 partium hanc per transversum accommodabimus punctis 100. 100 notatis, & immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta 80. 80 quam iterum mensurabimus sopra dictam scalam, & videbimus abscindere 48 punctum, quare dicendum 48 esse quartum numerum quaesitum ¹²¹⁷ .

Secundo si quaestio esset 10 exhibent 30 quot dabunt 80, nec secundus, nec tertius ¹²¹⁸ numerus ex scala immobili acceptus potest primo per transversum accommodari, ideo necessum erit secundum, vel tertium numerum ex scala immobili accipere, illamque distantiam duplo vel triplo maiori numero per transversum accommodare, immotoque instrumento distantiam secundi vel tertij numeri accipere prout secundum vel tertium prima vice accepimus, quae distantia supra scalam immobilem mensurata ostendit numerum, cuius duplum vel triplum, quartum numerum demonstrat; ut in dato exemplo ex scala immobili accipio quantitatem 30 partium, hanc per transversum punctis 30. 30 notatis apto, & immoto instrumento accipio distantiam inter puncta 80. 80, hanc distantiam supra scalam immobilem mensuratam video abscindere 80 punctum, ideo dico 240 esse quartum numerum quaesitum, si enim meministi pro 10 aceppi 30 ¹²¹⁹ .

Tertio si primus numerus in regula proportionum positus excederet numerum partium ipsius lineae, accipiemus quantitatem secundi numeri ex scala immobili, & hanc punctis dimidiae partis primi numeri accommodabimus, & immoto instrumento accipiemus distantiam inter puncta dimidiae partis tertij numeri, quae supra scalam immobilem mensurata ostendet quartum numerum quaesitum, vel accipiemus distantiam inter puncta totius tertij numeri, quae ut iam dictam fuit, mensurata exhibet numerum cuius medietas quartum numerum indagatum demonstrat. Ut si quis diceret: 150 dant 60, quot dabunt 90. accepta itaque ex dicta scala quantitate 60 partium, liane per transversum accommodamus punctis 75. 75 hoc est dimidiae partis primi numeri, immoto instrumento vel accipimus distantiam inter puncta 90. 90, quam mensuramus supra scalam immobilem, & offendimus abscindere 72 punctum, cuius medietas nempe 36 absque omni dubio est quartus numerus inquisitus, vel tandem accipimus distantiam inter puncta 45. 45, hoc est inter puncta dimidii 90, & haec mensurata praebet 36 pro quarto numero ¹²²⁰ .

Quarto si tertius numerus in regula proportionum positus longe excederet numerum partium ipsius lineae, tamen operatio perficietur, si accepta quantitate partium secundi numeri a centro instrumenti per longitudinem immobilis scalae hanc accommodabimus punctis primi numeri & ex immoto instrumento in aliquot partes resoluto tertio numero toties accipiemus distantias donec voti compotes facti sumus. Ut si quis diceret 34 dant 20 quot dabunt 480, accipiemus inquam a centro instrumenti per scalam immobilem quantitatem 20 partium, hanc per transversum punctis 34. 34 disponemus, & immoto instrumento primum accipiemus distantiam inter puncta 100. 100, quae mensurata supra scalam immobilem abscindit 59 partem, qui numerus per 4 ductus, 100 enim in dato numero quater haberi potest, dat 236, tum accipiemus distantiam inter puncta 80. 80, quae iterum mensurata supra dictam scalam abscindet 46 punctum, & aliquid amplius, qui numerus priori additus, ostendit quartum proportionalem numerum 282 1/3 fere ¹²²¹ .

Quinto & ultimo si numeri in regula proportionum positi adeo essent minimi, ut ullo modo instrumento accomodar possent, tamen operatio perficietur si loco unitatis accipiantur decimae. Ut si quis volens disponere 125 milites, ita ut in unoquoque ordine quinque ponantur, desideraret praescire numerum ordinum. In hac operatione sic esset procedendum, 5 milites faciunt unum ordinem quot facient 125, & secundum hactenus dicta ex scala immobili accipienda esset quantitas unius partis, haec punctis 5. 5 applicanda esset, verum isti numeri in instrumento haberi non possunt, ideo sic numeros disponemus 50 10 12 50 tum ex scala immobili accipiemus quantitatem 10 partium, hanc per transversum punctis 50. 50 aptabimus, & immoto instrumento accipiemus distantiam primum inter puncta 250. 250, hanc supra scalam immobilem mensurabimus, & videbimus illam abscindere punctum 50 qui numerus quinquies acceptus producet summam 250; a quo numero abiecta ultima nota residuatur 25 quartus numerus indagatus ¹²²² .

Non hic iacet huius instrumenti usus, verum ea facilitate arithmeticas illas quaestiones, quae per reiteratas regulas aureas resolvuntur, extricare docet, ut quilibet huius beneficio facile possit exactus supputator videri. Sint igitur E. g. tres homines, qui una 250 libras lucrati sint, alter tamen per 20 dies, alter per 30 alter per 43 laboraverit, quaerant autem singuli debitam sibi nummorum partem, nulli dubium quod in hoc casu sic esset procedendum: dies propositi invicem sunt addendi quorum summa erit 93, tum dicendum esset 93 dant 250 quot dabunt 20, haecque esset prima operatio, tunc iterum 93 dant 250 quot dabunt 30, tandem tertio esset dicendum 93 dant 250 quot dabunt 43, hoc autem an sit laboriosum norunt in hac arte versati, ab hac tamen molestia huius instrumenti ope sublevamur, accipiemus enim ex scala immobili quantitatem 125 partium, hoc autem ut operatio melius perfici posset, non enim satis commodum esset quantitatem 250 partium punctis 93. 93 accommodare, excipiemus itaque ex dicta scala quantitatem dimidij numeri tantum hanc applicabimus punctis 93. 93, nec amplius mutanda erit instrumenti apertura, sed primum accipienda distantia inter puncta 20. 20 haec mensurata supra scalam immobilem abscindet 27 punctum non completum cuius duplum scilicet 54, fere est portio competens illi, qui per 20 dies laboravit, secundo non mutata instrumenti dispositione accipiemus distantiam inter puncta 30. 30, haec mensurata supra scalam immobile abscindet fere 40 1/3 cuius duplum nempe 80 2/3 erit nummorum portio, quae competit illi, qui per 30 dies suam operam locavit. Tertio & ultimo excipiemus distantiam interpuncta 43. 43, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet fere 58 puncta cuius duplum 115 2/3 fere est illud, quod debetur illi, qui per 43 dies laboravit ¹²²³ .

Non minori facilitate resolvuntur quaestiones illae arithmeticae, quae regulam trium inversa dictam desiderant, in quo casu supra scalam immobilem accipimus quantitatem primi numeri, hanc per transversum applicamus punctis tertij numeri, & accipimus distantiam inter puncta secundi numeri, quam mensuramus supra dictam scalam, & habemus optatum. Ut si quis diceret est triremis quae habens 12 remos spatio 18 dierum potest suum iter perficere, quaeritur si 20 remos habeat quot dierum spatio illud iter absolvet, immeri in regula positi sic se habent 12 18 20. Accipias itaque supra scalam immobilem quantitatem 12 partium, hanc punctis 20. 20 per transversum accommodabis, & immoto instrumento accipies distantiam inter puncta 18. 18, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet 10 4/5, quod quaerebatur ¹²²⁴ .

Verum si quis quaereret 100 coronatos quot ungaricos faciant, illud praescire aebet coronatum septem ungaricum decem libris aestimari, tum supra scalam immobilem accipiet quantitatem septem partium, post quam iste quaerit pecuniam, quae septem, quantum faciat de illa, quae decem valet, hanc punctis 10. 10 accommodabit, & immoto instrumento accipiet distantiam inter puncta 100. 100 quam mensurabit supra scalam immobilem, & offendet abscindere 70 punctum, quare inquiet 100 coronatos efficere 70 ungaricos. Quod si coronatum E. g. valeret 7 libras & 4 solidos tunc coronatum & ungaricum resolveret ad solida, & in reliquis operatio erit similis priori ¹²²⁵ .

Non absimili negotio possumus mercatorum quaestiones illas resolvere, per quas quaeritur spatio 4 annorum 120 coronatos ad 6 pro 100 quotannis relicta usura supra sortem, & etiam supra usuram, quid sint lucraturi. Primum enim sic dispones numeros 100 dant 106 quod dabunt 120, ex scala immobili statim accipias distantiam a centro instrumenti ad punctum 120 hanc punctis 100. 100 per transversum accommodabis, & immoto instrumento accipies distantiam inter puncta 106. 106 quam parum plus aperto instrumento iterum applicabis punctis 100. 100, & iterum immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 106. 106 hoc autem quater repetes, pio numero scilicet annorum, ultimo acceptam distantiam mensurabis supra scalam immobilem & invenies abscindere 152 punctum fere, quare inquies 120 coronatas spatio 4 annorum evasisse 152 ¹²²⁶ .

Si vero libeat possumus etiam semel accommodato instrumento hanc quaestionem determinare, si accipiamus ex scala immobili distantiam 106 puncti a centro instrumenti, & hanc punctis 100. 100 per transversum accommodabimus, ex immotoque instrumento accipiemus distantiam inter puncta 120. 120 si hanc enim supra scalam immobilem mensurabimus habebimus usuram & sortem unius anni nempe 127 1/3 fere, quod si secundo immoto instrumento distantiam inter puncta 127 1/3 accipiemus, & hanc mensurabimus supra scalam immobilem inveniemus 135 fere pro sorte & usura secundi anni, sicque successive per singulos annos procedendum erit ¹²²⁷ .

Insuper sit aliqius cui mercator spatio trium annorum solvere debeat 240 coronatos hic in necessitate constitutus, ut statim possit suam exigere pecuniam reliquit mercatori 10, pro 100, quaeriturque quantum illi Mercator solvere debeat. Haec est conversa operatio prioris, ideo sic statues muneros 110 remanent 100 quot remanebunt 240. Accipias quantitatem 100 partium ex scala immobili, hanc aptabis punctis 110. 110 & immoto instrumento excipies distantiam inter puncta 240. 240, quae mensurata supra scalam immobilem abscindet 218 1/5 & aliquid amplius, iterum ex immoto instrumento excipias distantiam inter puncta 218 1/5 hanc mensurabis supra scalam immobilem abscindet 198 1/2 fere. Tertio & ultimo excipies distantiam inter puncta 198 1/2 & hanc mensurabis supra scalam immobilem & abscindet 180 fere, & haec erit pecuniae summa quam debet iste a mercatore recipere ¹²²⁸ .

E converso etiam quandoque hoc modo quaeritur, est quidam qui accepta certa pecuniae quantitate a Mercatore ad 5 pro 100, spatio duorum annorum illi reddidit 500 coronatos, quaeritur inquam quot coronatos prima vice acceperit. Sic disponantur numeri 110 erant 100, quot ergo erant 500, in reliquis eadem erit methodus iam superius exposita ¹²²⁹ .

Sed ut melius istius instrumenti usus pateat, lubet aliam methodum iam dictas operationes omnes perficiendi aperire, quae licet prima fronte magis laboriosa videri possit, tamen exercitatis sine dubio iocundior erit Proposita itaque aliqua quaestione arithmetica per auream regulam resolvenda aperiatur instrumentum pro libitu. & vulgari aliquo circino excipiatur distantia inter puncta secundi nulo meri, haec constricto vel dilatato instrumento pro rei necessitate accommodetur punctis primi numeri, sicque relinquatur instrumentum, nec mutetur per vulgarem circinum accepta divaricatio, sed alio aliquo excipiatur distantia inter puncta tertij numeri, quae servetur, prioris circini divaricatio aptetur iterum punctis secundi numeri, & videatur quo incidat distantia tertij numeri iam iam servata, puncti enim illi quartum numerum inquisitum demonstrabunt. Ut si proponeretur quaestio 50 dant 60 quot dabunt 20 aperirem inquam instrumentum pro libitu & exciperem distantiam inter puncta 60. 60 hanc parum dilatato instrumento accommodarem punctis 50. 50 notatis, alioque circino ex sic immoto instrumento exciperem distantiam inter puncta 20. 20, mox priorem servatam distantiam iterum aptarem punctis 60. 60, postremamque distantiam inter puncta 20. 20 sumptam viderem accommodari punctis 24. 24 praecise, quare dicerem 24 esse quartum numerum indagatum. Eademque fere operatione resolvitur etiam regula trium conversa, si loco secundi numeri accipiamus primum, loco primi tertium, & loco tertij secundum ¹²³⁰ .