Die quadratische Gleichung der Ägypter.

Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des Papyrus. 1900 hat Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites gefunden. Der Papyrus ist vermutlich aus dem mittleren Reiche und lautet folgendermassen: Ein ferneres | Beispiel der Verteilung einer gegebenen Fläche auf mehrere Quadrate | wenn dir gesagt wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte Grössen zu verteilen und | 34 der Seite der | einen Grösse für die andere | zu nehmen | bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |.

Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser drückt sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 (d. h. also ein Quadrat) und nimm 34 | der Seitenlänge | der einen für die andere | dies gibt 34 |. Multipliziere dies mit 34 das gibt 916. Wenn so die eine Grösse zu 1 die andere mit 34 genommen ist, so vereinige diese beiden Grössen, das gibt 2516. Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 54. Nimm die Wurzel der gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch 54, der Quozient ist 8 (Zeichen: Symbol auch Zeichen der Differenz). Der Rest ist zerstört, doch ist noch soviel zu erkennen: Nimm 34 von diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir also

x2 + y2 = 100; x : y = 1 : 34.

Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 kubische Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu zerlegen, dass die Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten sich wie 1 : 34 verhalten.

Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale Quadratwurzel aus 34 führen. Der Verfasser verfährt also ganz anders. Er geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks mit 43 multipliziert das Quadrat der grossen Seite gibt.

Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : 34, das gibt 113, multipliziere 12 mit 113, das gibt 16, die √ ist 4, das ist die Länge der einen Seite. Nimm 34, das ist 3. Hier haben wir also xy = 12xy = 1 : 34. Man sieht, beide Male haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, das also schon um 2200 den Ägyptern bekannt war.

Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben Papyrusfragment entziffert.

Es handelt sich um:

x : y = 2 : 112 und x2 + y2 = 400.

Wird dann probeweise x = 2, y = 112 gesetzt, so gibt es 614, die √ ist 212, dies ist 18 von 20, also ist x = 16, y = 12

[16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10]

Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich Symbol To-Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht?

In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. April 1908 p. 337 wird diese Hieroglyphe als Gnomon erklärt, und den alten Ägyptern damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens nach der Formel (a + b)2 supponiert. Einem Sprachforscher von Fach wäre die äussere Ähnlichkeit, ich verweise auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht vom Gnomon abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung von Wurzeln aus Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, so wie die Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) durch Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden.

Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den Ägyptern schon um jene frühe Zeit bekannt war.