I. OSSERVAZIONI SUI NUCLEI DELLE EQUAZIONI INTEGRALI

«Rend. Acc. Lincei», ser. 5a, vol. XXIII1, 19141;
pp. 266-269.

1. Sia

l'equazione risolvente dell'equazione integrale

Fra il nucleo dell'equazione primitiva e quello della risolvente passano le relazioni ²⁵

Se il nucleo dell'equazione primitiva è della forma f(x – ξ), ossia appartiene al gruppo del ciclo chiuso, vi apparterrà anche il nucleo risolvente che avrà quindi la forma f 1(x – ξ); e l'equazione precedente si scriverà:

(1)

Il prof. Tedone, in una recente Nota ²⁶ , si domanda quando il nucleo risolvente possa ottenersi dal primitivo mediante un numero finito di operazioni di derivazione e d'integrazione.

Risolviamo il problema nel caso in cui il nucleo risolvente si voglia che resulti dato da una espressione lineare a coefficienti costanti delle derivate e di integrali del nucleo primitivo; cioè:

(1)

2. Facendo uso delle notazioni impiegate per la composizione ²⁷ , la (1) si scriverà:

(2)

ossia

D'altra parte,

. . . . . . . . . . . . . . .

Sia

f(0)=c 0

,

f'(0)=c 1

,

f"(0)=2c 2

, . . . ,

f ( m )(0)=m!c m;

sarà

e, facendo uso del simbolo di divisione ²⁸ ,

,

Avremo dunque ²⁹

Le operazioni simboliche di divisione e di moltiplicazione possono trattarsi come operazioni algebriche; quindi, riducendo a forma intera, avremo:

(3)

Questa è una equazione integrale di secondo grado della cui soluzione mi sono occupato nelle mie lezioni sulle funzioni di linee ³⁰ .

3. Come esempio, risolviamo il problema di trovare un nucleo tale che il nucleo risolvente sia la derivata del primitivo, cioè si abbia

ossia

Ma

f' =

quindi

e, riducendo a forma intera,

Questa equazione integrale si scrive, supponendo c 0 = 1 per trattare il caso più semplice,

Per risolverla, basta considerare l'equazione algebrica ³¹

y 2 + y – z = 0,

da cui segue

Prendiamo la radice che si annulla per z = 0 e sviluppiamola in serie di potenze di z. Si otterrà

Sostituiamo, al posto di z , e consideriamone le potenze simboliche come composizioni, cioè

,

, . . . ,

Avremo il nucleo richiesto

Questa funzione resulta intera, ma anche a priori avremmo potuto dire, per le proprietà della composizione, che la funzione f doveva essere intera.

4. Si può anche trattare facilmente il caso in cui i coefficienti della (1) non siano costanti, ed altri casi pure che semplicemente possono dedursi dalla trattazione precedente.